Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 3. EQUAÇÕES NÃO LINEARES 91
3.7.3 Algoritmo Quociente-Diferença
Os métodos de Newton e Newton-Bairstow para determinação de zeros de polinômios são eficientes
se conhecemos, respectivamente, uma aproximação inicial suficientemente próxima da raiz, ou uma aproximacão
inicial adequada para o fator quadrático.
Nessa seção apresentaremos um método numérico que determina os zeros de um polinômio sem conhecer
aproximações iniciais, mesmo que as raízes sejam complexas. Tal método, conhecido como Algoritmo
Quociente-Diferença, ou simplesmente Algoritmo Q-D, é um esquema devido a Rutishauser, que fornece
simultaneamente aproximações para todos os zeros de um polinômio, sejam eles reais ou complexos.
Maiores detalhes sobre o algoritmo Q-D, podem ser encontrados em [Henrici, 1964] ou em [Albrecht, 1973].
Seja P (x) um polinômio da forma (3.15), isto é:
P (x) = anx n + an−1x n−1 + . . . + a0 .
Vamos considerar que P (x) é um polinômio de grau n ≥ 1, com ak = 0, k = 0, 1, . . . , n.
A partir de P (x) construímos linhas de termos q e e, começando a tabela calculando a primeira linha
de q ′ s e a segunda linha de e ′ s, da seguinte maneira:
q (1)
0 = − an−1
an
e (k)
0 = a n−(k+1)
an−k
; q (k)
0
Assim as duas primeiras linhas da tabela são:
= 0 , k = 2, . . . , n ,
, k = 1, 2, . . . , n − 1 ; e (1)
0
= e(n)
0
= 0 .
e (0) q (1) e (1) q (2) e (2) q (3) . . . e (n−1) q (n) e (n)
0
− an−1
an
an−2
an−1
0 0 . . . 0
an−3
an−2
As novas linhas de q ′ s serão calculadas através da equação:
. . .
novo q (k) = e (k) − e (k−1) + q (k) , k = 1, 2, . . . , n , (3.31)
usando os termos das linhas e e q acima. Note que nessa equação o novo q é igual ao e à direita menos
e à esquerda mais q acima. As novas linhas de e ′ s são calculadas pela equação:
novo e (k) = q(k+1)
q (k) e(k) , k = 1, 2, . . . , n , e (0) = e (n) = 0 , (3.32)
onde o novo e é igual ao q à direita sobre q à esquerda vezes e acima.
Utilizamos sucessivamente as fórmulas (3.31) e (3.32) até que os e ′ s tendam a zero. Quando isso
ocorrer, os valores de q aproximam os valores das raízes, se estas forem reais. Se o polinômio tiver um
par de raízes complexas conjugadas, um dos e ′ s não tenderá a zero mas flutuará em torno de um valor.
Nesse caso devemos montar um fator quadrático da forma: x 2 − rx − s, do seguinte modo: a soma dos
dois valores de q, um de cada lado do valor de e em questão, aproximará o valor de r e o produto do
valor de q acima e à esquerda vezes o valor de q abaixo e à direita aproximará o valor de −s. Fazendo
x 2 − rx − s = 0, determinamos as raízes complexas. Caso semelhante vale para raízes de multiplicidade
2. Daremos a seguir exemplo.
a0
a1
0