Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 12
2) Se usarmos a definição usual de produto escalar no IR n
, isto é, se usarmos (1.8), então: x =
n
(x, x) = i=1 x2i = x E.
Exemplo 1.10 - Seja x = (−1, 10, 3, 4, −20) t . Calcular x E, x ∞ e x 1 .
Solução: Aplicando a definição de cada uma das normas, obtemos:
x E = (−1) 2 + (10) 2 + 3 2 + 4 2 + (−20) 2 22.93,
x ∞ = max (| − 1|, |10|, |3|, |4|, | − 20|) = 20,
x 1 = | − 1| + |10| + |3| + |4| + | − 20| = 38.
Como você pode observar a aplicação de cada uma das normas definidas anteriormente fornece um
resultado diferente. Entretanto, no IR n , todas as normas são equivalentes.
Definição 1.8 - Duas normas · a e · b são equivalentes se existem constantes k1 e k2 tais que:
k1 x a ≤ x b ≤ k2 x a , ∀ x ∈ E. (1.15)
Exemplo 1.11 - Como exemplos de normas equivalentes, no IR n , temos:
a) x ∞ ≤ x 1 ≤ n x ∞ ,
b) x ∞ ≤ x E ≤ √ n x ∞ ,
c)
1
n x 1 ≤ x E ≤ √ x x 1 .
Vamos verificar que o item a) é verdadeiro; a verificação das demais fica como exercício.
Solução: Temos:
x ∞ = max
1≤i≤n |xi| = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}
= |xk| ≤ |xk| +
k−1
|xi| +
i=1
n
i=k+1
|xi| =
n
|xi| = x 1
= |x1| + |x2| + . . . + |xn| ≤ {|xk| + |xk| + . . . + |xk| }
n vezes
= n|xk| = n max
1≤i≤n |xi| = n x ∞ .
Teorema 1.4 - A desigualdade de Schwarz (1.13) pode ser escrita como:
Prova: A prova deste teorema fica como exercício.
i=1
|(x, y)| ≤ x y . (1.16)
Um vetor x, de E, é unitário se seu comprimento é igual a 1, isto é, se x = 1.
Definição 1.9 - Seja E um espaço euclidiano de dimensão n. Os vetores f1, f2, . . . , fn formam uma
base ortonormal de E se eles forem vetores ortonormais, ou seja, se:
1 se i = j,
(fi, fj) = δij =
0 se i = j.