Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 388
Agora, pela fórmula (10.31), temos que as diferenças ordinárias de ordens 1 e 2, são dadas, respectivamente,
por:
∆fn = fn+1 − fn ,
∆ 2 fn = fn+2 − 2fn+1 + fn .
Assim, substituindo as diferenças ordinárias na expressão acima e agrupando os termos semelhantes,
segue que:
yn+2 = yn+1 + h
12 [−fn + 8 fn+1 + 5fn+2] , (12.14)
que é um método implícito de 2-passos chamado Método de Adams-Moulton. Vale aqui a mesma
observação dada no método de Simpson.
IV) De maneira semelhante ao método anterior, se aproximarmos f(x, y(x)) por um polinômio de interpolação
sobre os pontos (xn, fn) , (xn+1, fn+1), isto é, por um polinômio do primeiro grau, e integrarmos
a equação diferencial de primeira ordem, do (p.v.i.) (12.2), de xn+1 até xn+2, obtemos:
yn+2 = yn+1 + h
2 [−fn + 3 fn+1] , (12.15)
que é um método explícito de 2-passos chamado Método de Adams-Bashforth. Como na regra do
ponto médio, para aplicar este método devemos obter, inicialmente, o valor de y1 por método de 1-passo.
Exemplo 12.5 - Resolver o (p.v.i.) do exemplo 12.1, usando o método de Adams-Bashforth. Use o
método de Taylor de ordem 2, para obter os valores iniciais necessários.
Solução: Temos que: y0 = 2 (condição inicial), f0 = 0 e y1 = 2.005, f1 = 0.095) ( calculado no exemplo
12.4). Assim, fazendo n = 0 em (12.15), segue que:
y2 = y1 + h
2 [−f0 + 3f1] = 2.005 + 1
[−0 + 3(0.095)]
2
= 2.0193 y(x2) = y(0.2) .
Agora f(x2, y2) = f(0.2, 2.0193) = −2.0193 + 0.2 + 2 = 0.1807. Assim, fazendo n = 1 em (12.15),
obtemos:
y3 = y2 + h
2 [−f1 + 3f2] = 2.0193 + 1
[−0.095 + 3(0.1807)]
2
Assim a solução do (p.v.i.) dado é:
= 2.0417 y(x3) = y(0.3) .
xn
yn
0 2
0.1 2.005
0.2 2.0193
0.3 2.0417