Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 364
a) Verifique que a aplicação da regra do trapézio primeiramente na direção Oy e depois na
direção Ox, fornece:
I ≈
(b − a)
2
(d − c)
[f(a, c) + f(b, c) + f(a, d) + f(b, d)] .
2
b) Verifique que discretizando [a,b] e [c,d] respectivamente pelos pontos:
xi = a + ih , 0 ≤ i ≤ m , h =
yj = a + jk , 0 ≤ j ≤ n , k =
b − a
m ;
d − c
n
e então aplicando a regra do trapézio generalizada nas direções Oy e Ox, obtemos:
onde:
I ≈ hk
4
m
i=0 j=0
n
aijf(xi, yj) ,
a00 = am0 = a0n = ann = 1 ,
ai0 = ain = 2 , 1 ≤ i ≤ m − 1 ;
a0j = amj = 2 , 1 ≤ j ≤ n − 1 ;
aij = 4 , 1 ≤ i ≤ m − 1 , 1 ≤ j ≤ n − 1 .
c) Usando a fórmula obtida em b), com h = 0.5 e k = 0.25, avalie:
11.41 - Considere a integral:
1 0.5
0
I(a) =
0
a
0
x 2 + y 3 dy dx .
x 2 e −x dx .
a) Obtenha I(1) com duas casas decimais corretas usando a regra de Simpson.
b) Calcule exatamente, a menos de erros de arredondamento I(a), a → ∞, usando fórmula de
quadratura de Gauss.
11.42 - Uma pessoa calculou:
I =
1
(3x
−1
3 + 2x 2 + 2) dx ,
usando a regra 1 3
de Simpson sobre os pontos: -1, 0, 1 e outra pessoa calculou I usando a fórmula de
Gauss-Legendre sobre os pontos: - 0.57735, 0.57735. Qual das duas obteve melhor resultado? (Suponha
que em ambos os casos não houve erros de arredondamento).
11.43 - Deseja-se calcular:
2
−2
e t
√ 2 − t √ 2 + t dt .
Se você só pode obter o valor do integrando em 2 pontos, quais deverão ser estes pontos, de modo que
a resposta seja a mais exata possível?
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