Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 8
Dito de outro modo:os vetores não nulos v1, v2, . . . , vm, dois a dois ortogonais, são sempre linearmente
independentes.
Prova: Devemos provar que:
α1v1 + α2v2 + . . . + αmvm = 0 (1.12)
⇒ α1 = α2 = . . . = αm = 0.
Em virtude de (1.12) podemos escrever, sucessivamente, para cada i = 1, 2, . . . , m:
ou seja:
(vi , α1v1 + α2v2 + . . . + αivi + . . . + αmvm) = (vi, 0) = 0,
α1 (vi, v1) + α2 (viv2) + . . . + αi (vi, vi) + . . . + αm (vi, vm) = 0.
onde aplicamos P2 e P3. Mas (vi, vj) = 0 , i = j. Daí, a igualdade acima se reduz a:
αi (vi, vi) = 0.
Mas sendo vi = θ, temos, usando P4, que (vi, vi) = 0, para i = 1, 2, . . . , m. Portanto, da última
igualdade concluímos que,
αi = 0, i = 1, 2, . . . , m.
Logo, os vetores v1, v2, . . . , vm são linearmente independentes.
Definição 1.6 - Seja E um espaço euclidiano de dimensão n. Se f1, f2, . . . , fn são dois a dois ortogonais,
ou seja, se (fi, fj) = 0, i = j, eles constituem uma base de E, que será chamada de base ortogonal.
Teorema 1.2 - A condição necessária e suficiente para que um vetor v ∈ E seja ortogonal a um subespaço
E ′ ⊂ E é que v seja ortogonal a cada vetor e1, e2, . . . , en de uma base de E ′ .
Prova: A condição é evidentemente necessária. Provemos a suficiência. Seja x um vetor qualquer de
E ′ . Temos então:
x = α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en,
desde que e1, e2, . . . , en é uma base de E ′ . Devemos mostrar que v ⊥ x. Assim:
(v, x) = (v, α1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en)
= α1 (v, e1) + α2 (v, e2) + . . . + αn (v, en) = 0,
desde que por hipótese, v ⊥ {e1, e2, . . . , en}. Logo v é ortogonal a E ′ .
Teorema 1.3 - Num espaço euclidiano real E quaisquer que sejam x, y ∈ E, temos:
(x, y) 2 ≤ (x, x) (y, y), (1.13)
com igualdade válida se e somente se x e y são linearmente dependentes.
A desigualdade (1.13) é chamada desigualdade de Schwarz.
Prova: Tomemos o vetor v = x + λ y, onde λ é um número real qualquer. De P4, resulta:
e usando P2 e P3, obtemos:
(x + λ y, x + λ y) ≥ 0 ,
λ 2 (y, y) + 2λ(x, y) + (x, x) ≥ 0 .