Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 1. CONCEITOS BÁSICOS 4
ou na forma matricial: v1
ou ainda:
v2
=
a11 a12
a21 a22
v ′ 1
v ′ 2
, (1.4)
v = A v ′ . (1.5)
O sistema (1.4), possui sempre uma e uma só solução v ′ 1, v ′ 2, pelo fato de B1 e B ′ 1 serem bases de E.
Então, conhecidas, na base antiga, as coordenadas v1, v2 de v e as coordenadas de cada um dos vetores
e ′ 1, e ′ 2, na base antiga, podemos determinar as coordenadas v ′ 1, v ′ 2 de v na base nova usando (1.4).
Sendo A não singular, (det(A) = 0), existe a inversa A −1 de A. Assim, pré-multiplicando (1.5) por
A −1 , obtemos:
v ′ = A −1 v . (1.6)
A equação matricial (1.6) mostra como calcular as coordenadas de v na base antiga quando conhecidas
as coordenadas de v na base nova.
Exemplo 1.1 - Seja v = (2, 4) t na base {(1, 2) t , (2, 3) t }. Calcular as coordenadas de v na base {(1, 3) t , (1, 4) t }.
Solução: De (1.3), temos:
(1, 3) t = a11 (1, 2) t + a21 (2, 3) t ,
(1, 4) t = a12 (1, 2) t + a22 (2, 3) t .
Da primeira equação, obtemos o sistema:
a11 + 2 a21 = 1
2 a11 + 3 a21 = 3
cuja solução é: a11 = 3, a21 = −1. De maneira análoga, da segunda equação, obtemos:
a12 + 2 a22 = 1
2 a12 + 3 a22 = 4
cuja solução é: a12 = 5, a22 = −2. Substituindo os valores conhecidos em (1.4), segue que:
2
4
=
3
−1
′ 5 v 1
−2 v ′ 2
.
cuja solução é: v ′ 1 = 24, v ′ 2 = −14. Assim, v = (24, −14) t na base {(1, 3) t , (1, 4) t }.
Veremos agora, mudança de base em um K-espaço vetorial E de dimensão n.
b) Seja E = IR n . Sejam {e1, e2, . . . , en}, {e ′ 1, e ′ 2, . . . , e ′ n} bases de E e v ∈ E. Então, podemos
escrever:
Logo:
v =
n
viei =
i=1
n
j=1
v ′ je ′ j .
Mas e ′ 1, e ′ 2, . . . , e ′ n são elementos de E, e portanto podem ser expressos em relação a base {e1, e2, . . . , en}.
e ′ j =
n
aijei , j = 1, 2, . . . , n .
i=1