Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 408
b) c2 = c3 e a2 = a3 .
Substituindo os valores na segunda e quarta equações, segue que:
⎧
⎪⎨ 2c3a3 = 1 2 ⇒ c3a3 = 1 4
⎪⎩
2c3a 2 3 = 1 3 ⇒ c3a 2 3 = 1 6
(12.38)
Substituindo em (12.38), a primeira equação na segunda obtemos que: a3 = 2 3 = a2. Assim
c3 = 3 8 = c2. Da primeira equação obtemos: c1 = 1 − 2c3 = 1 − 3 4 → c1 = 1 4
c3b32a2 = 1 6 segue que: b32 = 2 3
. Portanto:
yn+1 = yn + h
k1 4
+ 3 2 (k2
+ k3) , onde :
k1 = f(xn, yn) ,
k2 = f(xn + 2 3 h, yn + 2 3 hk1) ,
k3 = f(xn + 2 3 h, yn + 2 3 hk2) ,
que é conhecido como Método de Nystrom.
. Finalmente, de
(12.39)
Exemplo 12.13 - Resolver o (p.v.i.) do exemplo 12.1, usando o par P C dado por 12.24, no modo
P (EC). Obtenha os valores iniciais necessários pelo método de Heun, fórmula (12.37).
Solução: Temos que y0 = 2, (condição inicial). Fazendo n = 0 em (12.37), obtemos:
Assim
y1 = y0 + h
4 (k1 + 3k3) , onde :
k1 = f(x0, y0) = f(0, 2) = −2 + 0 + 2 = 0,
k2 = f(x0 + 1
3 h, y0 + 1
3 hk1) = f(0 + 0.1
3
= f(0.0333, 2) = −2 + 0.0333 + 2 = 0.0333
k3 = f(x0 + 2
3 h, y0 + 2
3 hk2) = f(0 + 0.2
3
, 2 + 0.1
3 (0)),
, 2 + 0.2
3 (0.0333))
= f(0.0667, 2.0022) = −2.0022 + 0.0667 + 2 = 0.0645
y1 = 2 + 0.1
4 (0 + 3(0.0645)) = 2.0048 y(x1) = y(0.1)
Desde que y1 = 2.0048, a determinação de y2 e y3, usando o par P C dado por 12.24, no modo P (EC),
fornece exatamente o mesmo resultado do exemplo 12.10, ou seja , a solução do (p.v.i.) dado é: