Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 184
5.20 - Considere o sistema linear do exercício anterior com α = 1 e x (0) = (1, 2, 3) t . A aplicação
do método de Jacobi fornece a tabela:
k 0 1 2 3
x1 1 3 −1 −1
x2 2 −2 2 2
x3 3 −3 1 1
Existe alguma contradição com o exercício anterior? Você saberia explicar porque o método de Jacobi
convergiu.
5.21 - Considere o sistema linear Ax = b, onde:
⎛
20
A = ⎝ a
3
20
⎞
1
1 ⎠ .
1 a 6
Para que valores de a o critério das linhas é verificado?
5.22 - Supondo que o sistema linear Ax = b, onde A é a matriz do exercício anterior, esteja sendo
resolvido pelo método de Jacobi-Richardson, para quais valores de a, pode-se afirmar que:
x (k) − ¯x ∞≤ 1
2 x(k−1) − ¯x ∞ ,
onde x (k) e x (k−1) são aproximações para a solução e ¯x é a solução exata.
5.23 - O sistema linear Ax = b:
(I)
1
−a
−a x1
1
x (k+1)
1
x (k+1)
2
x2
=
b1
pode, sob certas condições, ser resolvido pelo seguinte método iterativo:
(II)
1
−wa
0
1
1 − w
=
0
wa
1 − w
b2
, a ∈ IR,
x (k)
1
x (k)
2
wb1
+
wb2
a) Mostre que se w = 1 o método iterativo (II) é o método de Gauss-Seidel.
b) Considere em (I), a = b1 = b2 = 0.5. Usando o processo iterativo (II), com w = 1, determine
a solução deste sistema com precisão de < 10 −2 . Tome como vetor inicial x (0) = (0.9, 0.9) t .
5.24 - Dado os sistemas:
9x1
(I)
−x1
−
+
x2
9x2
=
=
7
17
31x1 + 29x2 = 33
; (II)
29x1 + 31x2 = 27
a) Construa as funções quadráticas cujos mínimos são as soluções dos sistemas.
b) Determine o número de condição para cada sistema.
c) Com base no número de condição de cada sistema o que você pode concluir?
d) Resolva o sistema (II) pelo método dos gradientes conjugados. Qual é a aproximação ao fim
de dois estágios?
.