Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 455
onde os operadores µ e δx estão definidos em (??). A equação acima deve ser aplicada em todos os pontos
do domínio para os quais quer-se calcular uma aproximação, produzindo um sistema de equações não
lineares nas variáveis Ui,j. Esse sistema pode ser resolvido por aproximações sucessivas ou pelo método
de Newton, (veja Capítulo 4).
13.5 Equações Parabólicas em Duas Dimensões
Nesta seção consideraremos a discretização de equações parabólicas lineares em duas dimensões, da
forma:
ut = α1uxx + α2uyy ,
onde u, α1 e α2 são funções de x, y e t; x e y variáveis espaciais e t variável tempo, ou em notação de
operadores,
ut = Lu , (13.50)
com L ≡ α1uxx + α2uyy.
Todos os métodos discutidos anteriormente podem ser adaptados para este caso mas o esforço computacional
aumenta quadraticamente, de forma que a simples adaptação não é uma solução satisfatória.
Apresentamos a seguir alguns métodos criados para contornar esse problema, exigindo um número
menor de operações aritméticas.
Inicialmente supomos que a região de definição do problema seja formada pelo retângulo [0, a] × [0, b]
do plano x−y e pelo intervalo de tempo [0, ∞). Essa regi ao do plano é coberta por uma malha retangular
com lados paralelos aos eixos, com espaçamento h1 na direção x, h2 na direção y e por uma discretização
temporal com passo k. Os pontos da malha (x, y, t) serão dados por x = lh1, y = mh2 e t = nk, onde
l, m, n são inteiros. Uma função discreta definida nessa malha será denotada por U n l,m .
Da expansão em série de Taylor de u(x, y, tn+1) = u(x, y, tn +k) em torno do ponto (x, y, tn), obtemos:
u(x, y, tn+1) = u(x, y, tn) + kut(x, y, tn) + k2
2 utt(x, y, tn) + · · · . (13.51)
Observando agora que ut = Lu e que L independe de t, deduzimos por diferenciação com relação a t
que utt = (Lu)t = Lut = L × Lu = L 2 u. Assim podemos mostrar por indução que:
Levando esse resultado em (13.51), obtemos:
∂ p u
∂t p = Lp u .
u(x, y, tn+1) = u(x, y, tn) + kLu(x, y, tn) + k2
2 L2 u(x, y, tn) + · · ·
= (I + kL + k2
2 L2 + k3
3! L3 + · · · )u(x, y, tn) = exp(kL)u(x, y, tn) . (13.52)
Avaliando a expressão (13.52) no ponto (xl, ym, tn) obtemos a fórmula (13.53), que será utilizada na
dedução dos diversos métodos a seguir.
u n+1
l,m = exp(kL)un l,m . (13.53)