Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 341
Prova: Faremos a prova por indução.
a) Inicialmente, temos que: φ1(x) e φ0(x) são ortogonais. De fato:
(φ1(x), φ0(x)) =
(x, 1)
x − 1, 1
(1, 1)
=
= (x, 1) −
b) Supondo (φi(x), φj(x)) = 0, para i = j, i, j = 0, 1, . . . , k.
c) Provemos que (φk+1(x), φj(x)) = 0 , j = 0, 1, . . . , k.
Dividiremos a prova em três partes.
c.1) Consideremos inicialmente j = k. Temos então:
(x, 1)
(1, 1)
(1, 1) = 0 .
(φk+1(x), φk(x)) = (xφk(x) − αkφk(x) − βkφk−1(x), φk(x))
= (xφk(x), φk(x)) − αk (φk(x), φk(x)) − βk (φk−1(x), φk(x))
= (xφk(x), φk(x)) − (xφk(x), φk(x))
(φk(x), φk(x)) (φk(x), φk(x)) = 0.
desde que, pela hipótese de indução, φk−1(x) e φk(x) são ortogonais, e onde substituímos αk pelo
valor dado no teorema.
c.2) Para j = k − 1, temos:
(φk+1(x), φk−1(x)) = (xφk(x) − αkφk(x) − βkφk−1(x), φk−1(x))
= (xφk(x), φk−1(x)) − αk (φk(x), φk−1(x)) − βk (φk−1(x), φk−1(x))
= (φk(x), xφk−1(x)) − βk (φk−1(x), φk−1(x)) ,
desde que estamos utilizando o produto escalar definido por (11.18), e novamente aplicamos a
hipótese de indução.
Mas,
De fato, usando (11.19), temos, para k = 1, que:
(φ1(x), xφ0(x)) = (φ1(x), x)
(φk(x), xφk−1(x)) = (φk(x), φk(x)) .
=
φ1(x), φ1(x) + (xφ0(x), φ0(x))
(φ0(x), φ0(x)) φ0(x)
= (φ1(x), φ1(x)) + (xφ0(x), φ0(x))
(φ0(x), φ0(x))
= (φ1(x), φ1(x)) ,
(φ1(x), φ0(x))