Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 136
erro de arredondamento ε; este número pode então ser escrito na forma: ˜z = z+ε. Se agora multiplicamos
esse número por p, então obtemos p˜z = pz + pε e assim o erro no resultado será pε. Assim, se p for um
número grande esse erro poderá ser muito maior que o original. Dizemos nesse caso que o erro em z foi
amplificado.
No método de Eliminação de Gauss vários produtos com os multiplicadores são efetuados. Análises
de propagação de erros de arredondamento para o algoritmo de Gauss indicam a conveniência de serem
todos os multiplicadores (as constantes a (k)
ik /a(k)
kk do kō passo) menores que 1 em módulo; ou seja o pivô
deve ser o elemento de maior valor absoluto da coluna, da diagonal (inclusive) para baixo.
Podemos então em cada passo, escolher na coluna correspondente o elemento de maior valor absoluto,
da diagonal (inclusive) para baixo, e fazer uma permutação nas equações do sistema, de modo que esse
elemento venha a ocupar a posição de pivô. A este procedimento chamamos Método de Eliminação
de Gauss com Pivotamento Parcial.
Exemplo 4.8 - Resolver o sistema do exemplo anterior pelo método de Eliminação de Gauss com pivotamento
parcial.
Solução: Devemos colocar na posição do pivô o elemento de maior valor absoluto da primeira coluna.
Fazendo isso e aplicando o método de Eliminação de Gauss, obtemos:
1.00
0.000100
1.00
1.00
|
|
2.00
1.00
1.00
1.00
1.00
|
|
2.00
1.00
,
cuja solução é:
x =
e portanto bem mais próxima da solução exata.
1.00
1.00
A matriz de Hilbert é famosa por produzir um exemplo de sistema linear que se não utilizarmos
pivotamento a solução obtida pode estar completamente errada. Os elementos de tal matriz são dados
por:
hij =
1
i + j − 1
Assim a matriz de Hilbert de ordem 4 é dada por:
⎛
1
⎜ 1/2
⎝ 1/3
1/2
1/3
1/4
1/3
1/4
1/5
1/4
1/5
1/6
⎞
⎟
⎠
1/4 1/5 1/6 1/7
.
Exercício
.
, i = 1, 2, . . . , n ; j = 1, 2, . . . , n . (4.11)
4.18 - Considere um sistema linear de ordem 12 que tem a matriz de Hilbert como matriz dos coeficientes
e que a solução exata seja o vetor que possui todas as componentes iguais a 1. Resolva o sistema
usando:
a) o método de Eliminação de Gauss.
b) o método de Eliminação de Gauss com pivotamento parcial.