Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 356
Exemplo 11.15 - Calcular, usando quadratura de Gauss,
∞
1
e −x x 2 dx .
Solução: Aqui, o intervalo de integração e do produto escalar não coincidem. Então devemos fazer
uma mudança de variável. Como um dos limites de integração é infinito não podemos utilizar a equação
da reta para obter a mudança de variável. Nesse caso devemos fazer a mudança de variável via cálculo.
Assim, se tomarmos x = z + 1, teremos:
Logo: ∞
quando x = 1 → z = 0 ; e quando x = ∞ → z = ∞ ; dx = dz .
1
e −x x 2 dx =
∞
0
e −(z+1) (z + 1) 2 dz = e −1
portanto nas condições da fórmula de quadratura de Gauss-Laguerre.
∞
0
e −z (z + 1) 2 dz ,
Como f(z) é um polinômio de grau 2, fazendo 2n + 1 = 2, obtemos que n = 1 2
→ n = 1, desde que
n indica o índice do último ponto a ser considerado e portanto deve ser um inteiro. Assim da Tabela 3,
com N = 2, temos que:
z0 = 0.5857864 , A0 = 0.8535534 ,
z1 = 3.4142136 , A1 = 0.1464466 .
Calculando f(z) = (z + 1) 2 para z0 e z1, obtemos:
Logo:
Portanto: ∞
1
f (z0) = 2.5147185 ,
f (z1) = 19.485282 .
1
Akf(xk) = A0f (z0) + A1f (z1) = 4.9999998.
k=0
e −x x 2 dx = e −1
∞
e
0
−z (z + 1) 2 dz = e −1 (4.9999998) .
Observe que o resultado exato da integral é 5 e . A pequena diferença que existe entre o resultado exato
e o valor obtido é devida aos erros de arredondamento.
11.4.4 Fórmula de Gauss-Hermite
Para utilizar a fórmula de Gauss-Hermite a integral a ser calculada deve ter a função peso ω(x) =
e−x2 ; a = −∞ e b = ∞. Neste caso se o intervalo de integração não coincidir com o intervalo [−∞, ∞],
não podemos utilizar a fórmula de Gauss-Hermite. Daremos a seguir exemplo.
Exemplo 11.16 - Calcular, usando quadratura de Gauss,
∞
−∞
e−x2 x
2
2 dx .