Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 460
A idéia é portanto, aproximar a solução de um problema em duas dimensões resolvendo dois problemas
unidimensionais que localmente representam o problema original. As discretizações explícitas mais
simples dessas fórmulas são:
1
2
1
2
1 n+ U 2 − U n
k/2
U n+1 1 n+ − U 2
k/2
que pode ser reescrita na forma compacta como:
1 n+ e eliminando U 2 temos:
1 n+
U 2 = (1 + σδ 2 y)U n
= δ2 x n
U
h2 = δ2 y 1 n+
U 2
h2 e U n+1 = (1 + σδ 2 1 n+ 2
x)U , (13.67)
U n+1 = (1 + σδ 2 x)(1 + σδ 2 y)U n .
Obtemos assim a equação (13.57) que aproxima a solução com erro de truncamento da
O(k 2 + kh 2 ). Para um problema de valor inicial com condições dadas sobre o plano t = 0,
−∞ < x < ∞, −∞ < y < ∞, se usarmos o método LOD (13.67) temos a mesma precisão e estabilidade
mas mais economia de cálculos do que usando (13.57). Já o método de Crank-Nicolson para o par
de equações (13.66) toma a forma:
que pode ser reescrito como:
1
2
1
2
1 n+ U 2 − U n
k/2
U n+1 1 n+ − U 2
k/2
1 − σ
2 δ2
1 n+
x U 2 =
1 − σ
2 δ2
y U n+1 =
= δ2 1 n+ 2 xU + δ2 xU n
2h2 = δ2 yU n+1 + δ2 1 n+ 2 yU
2h2
1 + σ
2 δ2
x U n
1 + σ
2 δ2
1 n+
y U 2
(13.68)
Se os operadores δ 2 x e δ 2 y comutam, e este é o caso quando o domínio é um retângulo de lados paralelos
aos eixos x e y, então o método (13.68) é equivalente ao método Peaceman e Rachford. O método LOD
construído acima é de segunda ordem, é incondicionalmente estável e envolve apenas a solução de sistemas
tridiagonais.
Neste capítulo tentamos apresentar uma coleção representativa dos diferentes tipos de métodos e
problemas em equações parabólicas. No entanto o leitor com aplicações mais específicas pode encontrar
um grande número delas em Ames [?], Thomas [?] Lapidus & Pinder [?] e Sod [?].
13.6 Equações Elípticas
Problemas de equilíbrio em duas ou três dimensões geralmente dão origem à equações elípticas. Exemplos
típicos dessa classe são problemas de difusão e de pressão, problemas em elasticidade, problemas de
camada limite, problemas de vibração de membranas, etc. Mais simplificadamente, os problemas elípticos