Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 4. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS EXATOS 142
b)
δb
δx
pode ser interpretada como uma medida do erro relativo em b. O erro em
b x dependerá
do valor do número de condição que é maior ou igual a 1.
c) Se cond(A) é grande, então pequenas pertubações relativas em b produzirão grandes pertubações
relativas em x, e o problema de resolver Ax = b é mal condicionado.
d) cond(A) será considerado grande quando valer por volta de 10 4 ou mais.
2 o caso: Consideremos agora uma pertubação da matriz A da forma A + δA e seja b conhecido
exatamente. Portanto a solução x também será também pertubada, isto é, teremos x + δx, e assim de:
obtemos:
Mas, x = A −1 b. Portanto:
Seja B = A + δA. Temos que:
Logo:
De ( 4.23), segue que:
(A + δA)(x + δx) = b , (4.22)
(x + δx) = (A + δA) −1 b . (4.23)
δx = −A −1 b + (A + δA) −1 b ⇒ δx = [(A + δA) −1 − A −1 ]b .
B −1 − A −1 = A −1 AB −1 − A −1 BB −1 = A −1 (A − B)B −1 .
δx = [A −1 (A − B)B −1 ]b = [A −1 (A − (A + δA))(A + δA) −1 ]b
⇒ δx = −A −1 δA(A + δA) −1 b .
δx = −A −1 δA(x + δx) .
Aplicando norma, em ambos os membros, e usando normas consistentes, obtemos:
⇒
⇒
δx ≤ A −1 δA x + δx
δx
x + δx ≤ A−1 δA
A
A
δx
x + δx
≤ cond(A) δA
A .
Novamente, se cond(A) é grande, então pequenas pertubações em A, produzirão grandes pertubações
relativas em x e o problema de resolver Ax = b é mal condicionado.
Exemplo 4.11 - Analisar o sistema linear:
1.2969 0.8648
0.2161 0.1441
x1
x2
=
0.8642
0.1440
.