Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 350
Agora, calculamos a f nos zeros de φ2(x). Assim:
f(x0) = f(−0.57735) = (−0.57735) 3 − 5(−0.57735) ,
f(x1) = f(0.57735) = (0.57735) 3 − 5(0.57735).
Finalmente, podemos calcular a integral, isto é:
1
−1
x 3 − 5x dx = A0 f(x0) + A1 f(x1)
= 1 × [(−0.57735) 3 − 5(−0.57735)]
+ 1 × [(0.57735) 3 − 5(0.57735)] = 0 .
Observação: O procedimento dado é válido para qualquer produto escalar. Quando particularizamos
o produto escalar aos já mencionados anteriormente, isto é, quando usamos os produtos escalares
para obter os polinômios de Legendre, Tchebyshev, Laguerre e Hermite, necessitamos apenas efetuar os
passos e) e f) do procedimento dado anteriormente, pois os valores de xk e Ak já estão tabelados,
(as tabelas encontram-se no final deste capítulo). Neste caso, temos as fórmulas de quadratura de
Gauss-Legendre, Gauss-Tchebyshev, Gauss-Laguerre e Gauss-Hermite.
Antes de descrevermos cada uma destas fórmulas daremos as
INSTRUÇÕES PARA O USO DAS TABELAS
1 - Tabelas 1, 2 e 4
a) Os valores de xi e Ai são apresentados na forma normalizada, isto é, na forma 0. . . . × 10 j ,
onde j aparece, entre parêntesis, antes do número. Quando não aparecer a potência, significa
j = 0.
b) Cada valor é dado com 10 casas decimais. No livro de [Stroud, 19..], esses valores são apresentados
com 30 casas decimais, agrupadas de 10 em 10 para facilitar a leitrura.
c) Nas tabelas N significa o número de pontos que devemos tomar para resolver a integral.
Observe que da teoria tiramos o valor de n o que implica que devemos tomar n + 1 pontos.
Assim N = n + 1.
d) Como o intervalo de integração é simétrico em relação à origem, as raízes xi também o são.
Na tabela aparece apenas xi sem sinal; então, devemos considerar ± xi. Por exemplo: tabela
1 : N = 3, temos n = 2, isto é, x0, x1 e x2. Neste caso x0 = −0.77459 . . . ; x1 = 0 e
x2 = +0.77459 . . ..
e) Os Ai são sempre positivos! Observe que devemos tomar para Ai os valores que estão na mesma
linha dos xi, isto é, considerando os pontos xi do item d) teremos: A0 = 0.55555 . . . , A1 =
0.88888 . . . , e A2 = 0.55555 . . ..