Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 251
e temos:
⎧
N
⎨ 0 p = q ,
sen pxk sen qxk =
⎩
k=1
N
2
p = q = 0.
⎧
0 p = q ,
N
⎪⎨
cos pxk cos qxk = N p = q = 0 ,
k=1
⎪⎩
N 2
p = q = 0 .
Observe que o sistema normal aqui é o mesmo do caso contínuo, o que muda é o produto escalar, pois
nesse caso temos a função tabelada. Portanto o sistema normal se reduz a:
⎛
⎞
N
⎛ ⎞
a0
⎜ N
⎜ 2
○
⎟ ⎜ a1 ⎟
⎜ .
⎟ ⎜ ⎟
⎝
.. ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ . ⎠
○
N bm
2
=
⎛
⎞
(f, 1)
⎜ (f, cos x) ⎟
⎜
⎟
⎝ . ⎠
(f, sen Lx)
,
cuja solução é dada por:
a0 = 1
N
aj = 2
N
bj = 2
N
N
f(xk) ,
k=1
N
f(xk) cos jxk , k = 1, 2, . . . , L ,
k=1
N
f(xk) sen jxk , k = 1, 2, . . . , L .
k=1
Exemplo 8.5 - Obter aproximação trigonométrica de ordem 1, para a função dada pela tabela :
x π π 3π
4 2 4
π 5π 3π 7π
4 2 4
2π
f(x) 126 159 191 178 183 179 176 149
usando o método dos mínimos quadrados.
Solução: Note que os pontos tabelados são: xk = 2kπ
8
, k = 1, 2, . . . , 8.
Devemos determinar então SL(x) tal que:
f(x) a0 + a1 cos x + b1 sen x = S1(x) .