Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 468
max[−V (x, y)] = − min V (x, y),
∆δ(−V ) = −∆δ(V ).
Portanto, se V satisfaz a hipótese da parte (b), então −V satisfaz a hipótese da parte (a). Mas a
conclusão da parte (a) para −V é a mesma da parte (b) para V .
Aplicando adequadamente o princípio do máximo podemos obter um limitante para a solução da
equação de diferenças (13.75). O resultado, chamado estimativa a priori, pode ser dado por:
Teorema 13.6 Seja V (x, y) qualquer função discreta definida sobre os conjuntos Rδ e ∂Rδ. Então,
Prova: Vamos introduzir a função
max |V (x, y)| ≤ max |V (x, y)| +
(x,y)∈Rδ
(x,y)∈∂Rδ
a2
2 max |∆δV (x, y)| (13.88)
(x,y)∈Rδ
φ(x, y) ≡ 1
2 x2
e observemos que para todo (x, y) ∈ Rδ ∂Rδ,
onde
0 ≤ φ(x, y) ≤ a2
2
Agora, sejam V+(x, y) e V−(x, y) dadas por
e ∆δφ(x, y) = 1.
V±(x, y) ≡ ±V (x, y) + N0φ(x, y),
N0 ≡ max |∆δV (x, y)|.
(x,y)∈Rδ
Para todo (x, y) ∈ Rδ é fácil mostrar que (ver exercício 13.36)
∆δV±(x, y) = ±∆δV (x, y) + N0 ≥ 0.
Assim, podemos aplicar o princípio do máximo, parte (a) do Teorema 13.5, a cada V±(x, y) e obtemos,
para todo (x, y) ∈ Rδ,
V±(x, y) ≤ max V±(x, y) =
(x,y)∈∂Rδ
a
max [±V (x, y) + N0φ] ≤ max [±V (x, y)] + N0
(x,y)∈∂Rδ
(x,y)∈∂Rδ
2
2 .
Mas, da definição de V± e do fato que φ ≥ 0, obtemos:
Portanto,
±V (x, y) ≤ V±(x, y).
a
±V (x, y) ≤ max [±V (x, y)] + N0
(x,y)∈∂Rδ
2
≤ max |V (x, y)| +
2 (x,y)∈∂Rδ
a2
2 N0.
Como o lado direito da desigualdade acima é independente de (x, y) ∈ Rδ o teorema segue.