Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 475
O caso de domínios irregulares com condição de Neumann é muito mais complicado para o tratamento
com diferenças finitas. A grande dificuldade reside no fato de conhecermos a derivada direcional ∂u
∂η sobre
a fronteira do domínio de forma que ao, por exemplo, aproximarmos o domínio pelos lados das células da
discretização, como descrito para o caso da condição de Dirichlet, não podemos simplesmente transportar
essas condições para os pontos da malha pois precisamos levar em consideração os cossenos diretores das
derivadas direcionais. Isto torna esse expediente extremamente tedioso e complexo o que leva alguns
autores [?] a sugerir que esses termos devam ser ignorados e devemos então considerar as condições de
fronteira sobre a malha como se aí fosse realmente sua localização. Esse processo obviamente introduz
erros que são de dificil análise.
13.11 Diferenças Finitas em Coordenadas Polares
A mudança de variáveis x = r cos(θ), y = r sen (θ) transforma a equação de Poisson em:
∂ 2 u
∂r
1 ∂u 1
+ + 2 r ∂r r2 ∂2 = h(r, θ) (13.94)
∂θ2 Essa transformação pode ser bastante simplificadora no tratamento da discretização do domínio no
caso deste conter formas circulares, pois nesse caso as derivadas em (r, θ) são derivadas direcionais nas
direções do raio e do ângulo, de forma que podemos utilizar uma malha como mostrado na figura 4.6.
Figura 4.6: Discretização em coordenadas polares
A equação aproximada no ponto (i, j) da malha toma então a forma:
Ui+1,j − 2Ui, j + Ui − 1, j
h2 + 1
+
Ui+1,j − Ui − 1, j
ih 2h
1
(ih) 2
Ui,j+1 − 2Ui, j + Ui, j − 1
= h(ih, jδθ)
δθ
Notemos que a equação acima tem a mesma forma da equação (13.75) a menos dos termos resultantes
da discretização da derivada de primeira ordem. No entanto esse termo irá agrupar-se com aqueles
provenientes das derivadas de segunda ordem e ao final teremos o mesmo tipo de molécula de cálculo de 5
pontos tão bem conhecido. Os coeficientes da discretização serão porém distintos daqueles que aparecem
na discretização da equação de Poisson em coordenadas cartesianas, como na equação (13.75).