Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 7. DETERMINAÇÃO NUMÉRICA DE AUTO-VALORES E AUTO-VETORES 218
Solução: O maior elemento, em módulo, fora da diagonal principal da matriz A1 = A, é o elemento
a23 = a32 = 3. Assim:
φ = a33 − a22
2a23
= 6 − 5
6
= 0.1667 .
Portanto, t = 0.8471, cosϕ = c = 0.7630, senϕ = s = 0.6464. Como já dissemos podemos ou aplicar
as fórmulas: (7.13), (7.14), (7.6) com j = 2, 3 e (7.5) com i = 2, 3, ou simplesmente efetuar o produto
U t 1A1U1, para obter A2, onde:
⎛
U1 = ⎝
1 0 0
0 0.7630 0.6464
0 −0.6464 0.7630
⎞
⎛
⎠ ⇒ A2 = ⎝
4 1.5260 1.2928
1.5260 2.4586 0
1.2928 0 8.5414
O elemento de maior valor absoluto, na matriz A2 é a12 = a21 = 1.5260. Assim:
Obtemos, então:
⎛
U2 = ⎝
φ = −0.5050, t = −0.6153, c = 0.8517, s = −0.5240 .
0.8517 −0.5240 0
0.5240 0.8517 0
0 0 1
⎞
⎛
⎠ ⇒ A3 = ⎝
4.9387 0 1.1011
0 1.5197 −0.6774
1.1011 −0.6774 8.5414
Agora (p, q) = (1, 3), φ = 1.6360, t = 0.2814, c = 0.9626, s = 0.2709, e com isso obtemos:
⎛
U3 = ⎝
0.9626
0
0
1
⎞
0.2709
0 ⎠ ⇒
⎛
4.6611
A4 = ⎝ 0.1239
0.1239
1.5197
⎞
0
−0.6520 ⎠ .
−0.2709 0 0.9626
0 −0.6520 8.8536
Temos (p, q) = (2, 3) e assim afetuando os cálculos segue que: φ = −5.6266, t = −0.0882, c =
0.9961, s = −0.0879. Portanto:
⎛
1
U4 = ⎝ 0
0
0.9961
⎞
0
−0.0879 ⎠ ⇒
⎛
A5 = ⎝
4.6228
0.1827
0.1827
1.4621
⎞
−0.0161
0 ⎠ .
0 −0.0879 0.9961
−0.0161 0 8.9081
Observe que os elementos não diagonais da sequência Ak → 0, à medida que k aumenta. Assim os elementos
diagonais da sequência Ak convergem para os auto-valores de A que são: 1.45163, 4.63951, 8.90885.
Uma precisão maior pode ser obtida continuando o processo. Além disso, se desejarmos uma aproximação
para os auto-vetores, basta efetuar o produto U1U2U3U4.
7.5.2 Método Cíclico de Jacobi
A procura do elemento de maior módulo, fora da diagonal principal, a cada passo do método de
Jacobi, é um processo caro que deve ser evitado. Uma alternativa é percorrer ciclicamente os elementos
fora da diagonal principal, por linha, por exemplo. Assim, sucessivamente, zeramos os elementos das
posições:
(1, 2) (1, 3) . . . (1, n)
(2, 3) . . . (2, n)
. . .
(n − 1, n)
escolhendo em cada passo ϕ tal que a ′′
pq = 0. As fórmulas usadas são as mesmas do método de Jacobi.
A seguir voltamos à primeira linha, segunda linha, etc, isto é, repetimos o ciclo tantas vezes quantas
⎞
⎠ .
⎞
⎠ .