Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 12. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 390
Definição 12.2 - Definimos o operador diferença linear L, associado ao método linear de passo
múltiplo (12.7), por:
k
L[y(x); h] = [αjy(x + jh) − hβjy ′ (x + jh)] , (12.16)
onde y(x) é uma função arbitrária continuamente diferenciável em [a, b].
j=0
Expandindo y(x+jh) e y ′ (x+jh) em série de Taylor em torno do ponto x, desenvolvendo o somatório
e agrupando os termos semelhantes, obtemos:
onde
L[y(x); h] = C0y(x) + C1hy ′ (x) + . . . + Cqh q y (q) (x) + . . . , (12.17)
C0 = α0 + α1 + . . . + αk ,
C1 = α1 + 2α2 + . . . + kαk − (β0 + β1 + . . . + βk) , (12.18)
.
Cq = 1
q! (α1 + 2 q α2 + . . . + k q αk) −
1
(q − 1)! (β1 + 2 q−1 β2 + . . . + k q−1 βk) .
Definição 12.3 - O operador diferença (12.16) e o método linear de passo múltiplo associado (12.7),
têm ordem q, se em (12.17), C0 = C1 = . . . = Cq = 0 e Cq+1 = 0. Cq+1 é chamada de constante do
erro.
Exemplo 12.6 - Obter a ordem e a constante do erro para:
a) o método de Euler,
b) a regra do trapézio.
Solução: Temos que o método de Euler é dado por ( 12.8), de onde deduzimos que:
Assim:
α0 = −1 , β0 = 1 ,
α1 = 1 , β1 = 0 .
C0 = α0 + α1 ⇒ C0 = −1 + 1 = 0 ,
C1 = α1 − (β0 + β1) ⇒ C1 = 1 − (1 + 0) = 0 ,
C2 = 1
2! (α1) − (β1) ⇒ C2 = 1
1
(1) − (0) =
2 2 .
Logo, C0 = C1 = 0 e C2 = 0. Portanto a ordem do método de Euler é q = 1 e a constante do erro é
C2 = 1 2 .