Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 8. APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS 237
(1, 1) =
(1, x) =
1, x 2 =
x, x 2 =
x 2 , x 2 =
(f, 1) =
(f, x) =
(f, x 2 =
Assim, obtemos: ⎛
⎝
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
dx = x] 1
−1
= 2 ,
x dx = x2
1
2 −1
x 2 dx = x3
1
3 −1
x 3 dx = x4
1
4 −1
x 4 dx = x5
1
5 −1
= 0 = (x, 1) ,
= 2
3 = x 2 , 1 = (x, x) ,
= 0 = x 2 , x ,
= 2/5 ,
(x 4 5 x
− 5 x) dx = −
5
−1
1
(x
−1
5 − 5 x 2 ) dx = −
1
(x
−1
6 − 5 x 3 ) dx = −
2 0 2/3
0 2/3 0
2/3 0 2/5
⎞
⎠
⎛
⎝ a0
a1
cuja solução é: a0 = −3/35 ; a1 = −5 ; a2 = 6/7.
Portanto:
Exercícios
a2
f(x) P2(x) = − 3
35
⎞
x 6
6
x 7
7
⎠ =
1
5 x2
−
2 −1
1
5 x3
−
3 −1
1
5 x4
−
4 −1
⎛
⎝
2/5
−10/3
2/7
⎞
⎠ ,
= − 2
5 ,
= − 10
3 ,
= 2
7 .
− 5 x + 6
7 x2 . (8.1)
8.1 Seja f(x) = 1
x + 2
, x ∈ [−1, 1]. Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função
f(x) por um polinômio do 2o grau.
8.2 Seja f(x) = 1
4 , x ∈ [0, 1]. Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f(x)
x
por um polinômio do tipo P (x) = a x2 + b x4 , usando o seguinte produto escalar:
1
(f, g) =
Note que a base do sub-espaço neste caso é: {x 2 , x 4 }.
0
x 2 f(x) g(x) dx .
8.3 Usando o método dos mínimos quadrados, aproximar a função f(x) = x 3 − 1 2 , x ∈ [0, 1],