Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 357
Solução: Estamos nas condições da fórmula de Gauss-Hermite com f(x) = x2
2
. Assim, pela propriedade
4, devemos tomar 2 pontos. Pela Tabela 4, com N = 2, temos que:
Assim:
Portanto:
∞
−∞
x0 = −0.7071 , A0 = A1 = 0.8862 ,
x1 = 0.7071 .
f(x0) = (−0.7071)2
2
e −x2
2
= 0.25 = f(x1) .
x 2 dx = 0.8662 × 2 × 0.25 = 0.4431.
Observe que neste exemplo consideramos f(x) = x2
2 , mas poderíamos ter colocado 1 2
fora da integral
e considerado f(x) = x2 .
11.5 Erro nas Fórmulas de Gauss
Quando f(x) é um polinômio, sabemos que as fórmulas de quadratura fornecem um resultado exato
a menos, é claro, dos erros de arredondamento.
Na maioria das situações reais, f(x) não é um polinômio e, portanto, sua integral é aproximada
quando calculada através das fórmulas de quadratura.
Exibiremos algumas expressões do termo do resto (ou erro de truncamento) para as várias fórmulas
apresentadas. Não nos preocuparemos com a dedução de tais expressões por ser extremamente trabalhosa
e sem nenhum interesse prático.
Fórmula de Gauss-Legendre
A expressão do erro, para a fórmula de Gauss-Legendre, é dada por:
Fórmula de Gauss-Tchebyshev
En = 22n+3 [(n + 1)!] 4
(2n + 3)[(2n + 2)!] 3 f (2n+2) (ξ) , ξ ∈ (a, b) .
A expressão do erro para a fórmula de Gauss-Tchebyshev é dada por:
En =
Formula de Gauss-Laguerre
2π
e 2n+2 (2n + 2)! f (2n+2) (ξ) , ξ ∈ (a, b) .
A expressão do erro, para a fórmula de Gauss-Laguerre, é dada por:
En =
[(n + 1)!]2
(2n + 2)! f (2n+2) (ξ) , ξ ∈ (a, b) .