Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 5. SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES: MÉTODOS ITERATIVOS 170
⇔
n
aijvj + bi = 0 , i = 1, . . . , n .
j=1
Assim, temos que: Av + b = 0 = grad F (v). Mas, desde que Av + b = r, podemos concluir que
grad F (v) = r. Assim, nosso objetivo é obter grad F (v) = 0, pois assim teremos r = 0.
Teorema 5.2 - O problema de determinar a solução do sistema (5.14), onde A é positiva definida, é
equivalente ao problema de determinar o ponto de mínimo de (5.15) .
Prova: Evidentemente P = (x1, x2, . . . , xn) t é ponto estacionário da F se e somente se (x1, x2, . . . , xn) t
é solução de (5.14), pois se P é ponto estacionário da F então grad F = 0 ⇒ r = 0 ⇒ P é solução de
Ax + b = 0. Resta provar que F tem um só ponto estacionário e que este ponto é de mínimo.
Temos que v é ponto estacionário da F se e somente se grad F (v) = 0, isto é, se e somente se:
n
aijvj + bi = 0, i = 1, 2, . . . , n .
j=1
Além disso, o ponto estacionário é único, pois, o sistema admite uma única solução. Como:
temos que:
∂ 2 F (v)
∂v 2 1
= a11 , ∂2 F (v)
∂v1v2
= a12 , . . . ,
A = (aij) = ∂2F (v)
.
∂vivj
∂ 2 F (v)
∂vivj
Agora, por hipótese, A é positiva definida. Assim v é ponto de mínimo.
O exemplo a seguir ilustra o teorema anterior.
Exemplo 5.4 - Seja o sistema linear Ax + b = 0, dado por:
⎧
⎨ 100 x1 + x2 − 1 = 0
⎩
x1 + 100x2 − 100 = 0
= aij ,
Calcule a função quadrática dada por (5.15) e mostre que o ponto de mínimo desta função é solução
do sistema dado.
Solução: É fácil verificar que a solução do sistema dado é:
0
x = .
1
Formemos a função quadrática, F (v). Temos que:
Av =
100
1
1
100
v1
v2
100v1 + v2
v1 + 100v2
.
Assim:
(Av, v) = 100v 2 1 + 2v1v2 + 100v 2 2 ,