Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 459
e expandindo para obter:
[1 − 1 1
(σ −
2 6 )δ2 x][1 − 1 1
(σ −
2 6 )δ2 y]U n+1 = [1 + 1 1
(σ +
2 6 )δ2 x][1 + 1 1
(σ +
2 6 )δ2 y]U n + O(k 3 + kh 4 ), (13.64)
que pode ser decomposto em duas equações:
(1 − 1
2
(1 − 1
2
(σ − 1
6 )δ2 x)U n+1∗
= (1 + 1
2
(σ + 1
6 )δ2 y)U n
1 (σ − 6 )δ2 y)U n+1 = (1 + 1 1
2 (σ + 6 )δ2 x)U n+1∗
(13.65)
este método foi obtido por Mitchell e Fairweather [?].
As equações (13.63) e (13.65) são exemplos de métodos envolvendo a solução de sistemas tridiagonal
ao longo das linhas paralelas aos eixos x e y respectivamente. Estes são os métodos ADI.
As fórmulas (13.61) e (13.64) podem ser decompostas de uma outra maneira sugerida por D’Yakonov
[?]:
e (1 − 1
2
(1 − 1
2
(1 − 1
2 σδ2 x)U n+1∗
(1 − 1
2 σδ2 y)U n+1 = U n+1∗
(σ − 1
6 )δ2 x)U n+1∗
= (1 + 1
2 σδ2 x)(1 + 1
2 σδ2 y)U n
= (1 + 1 1
2 (σ +
(σ − 1
6 )δ2 y)U n = U n+1∗
,
6 )δ2 x)(1 + 1
2
(σ + 1
6 )δ2 y)U n
respectivamente.
Finalmente, Douglas e Rachford [?] formularam um método ADI que é dado na forma decomposta
por:
2 (1 − σδx)U n+1∗ = (1 + σδ2 y)U n
(1 − σδ2 y)U n+1 = U n+1∗ − σδ2 yU n ,
e é conhecido como o método Douglas-Rachford. Eliminando-se U n+1∗ temos a fórmula:
(1 − σδ 2 x)(1 − σδ 2 y)U n+1 = (1 + σ 2 δ 2 xδ 2 y)U n ,
que pode ser decomposta, de acordo com o método de D’Yakonov, em:
2 (1 − σδx)U n+1∗ = (1 + σ2δ2 xδ2 y)U n (1 − σδ
,
2 y)U n+1 = U n+1∗.
Usando o método de von Neumann, mostra-se a estabilidade, dos métodos ADI apresentados nesta
seção, para todo valor de σ > 0, ver exercício (13.25).
Método Localmente Unidimensional
Vamos ilustrar os métodos localmente um-dimensionais (LOD) resolvendo a equação
que pode ser reescrita como o par de equações
ut = uxx + uyy,
1
2 ut = uxx e
1
2 ut = uyy. (13.66)