Cálculo Numérico - Engenharia Civil UEM

CAPÍTULO 13. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 481
13.26 Mostre que os operadores δ 2 x e δ 2 y comutam quando o domínio onde eles se aplicam é um retângulo.Dê
um contra-exemplo para ilustrar o caso em que o domínio não é um retângulo.
13.27 Mostre que o método de Crank-Nicolson em duas dimensões com espaçamento k na direção t, hx
e hy nas direções x e y, pode ser escrito como:
1 − σx
2 δ2 x − σy
2 δ2
y U n+1
= 1 + σx
2 δ2 x + σy
2 δ2
y U n
(13.98)
onde σx = k
h 2 x
e σy = k
h2 .
y
Mostre que o termo:
é de ordem O(k 3 ).
Mostre que adicionando o termo
σxσy
4 δ2 xδ 2 n+1 n
y U − U
σxσy
4 δ2 xδ 2 yU n+1
no lado esquerdo de (13.98) e o termo
σxσy
4 δ2 xδ 2 yU n
no lado direito, obtemos um método com a mesma ordem do método de Crank-Nicolson que pode ser
fatorado na forma:
1 − σx
2 δ2
x 1 − σy
2 δ2
y U n+1
= 1 + σx
2 δ2
x 1 + σy
2 δ2
y U n
13.28 Mostre que o método de Peaceman-Rachford para solução da equação do calor não homogênea,
toma a forma:
1 − σx
2 δ2
1 n+
x U 2 =
1 − σy
2 δ2
y U n+1 =
ut = uxx + uyy + F (x, y, t)
1 + σy
2 δ2
y U n + k n
F
2
1 + σx
2 δ2
1 n+
x U 2 + k n+1
F
2
13.29 Escreva um programa MATLAB para resolver o problema:
∂2u ∂x2 + ∂2u = −2
∂y2 definido no quadrado [−1, 1] × [−1, 1] com condição de Dirichlet nula na fronteira. Utilize h = 0.2.
Compare seu resultado com a solução exata:
u(x, y) = 1 − y 2 − 32
π 3
∞
n=0
(−1) n
sech
(2n + 1) 3
(2n + 1)π
2
cosh
13.30 Escreva um programa MATLAB para resolver o problema:
∂2u ∂x2 + ∂2u − 10u = 0
∂y2 (2n + 1)πx
definido no quadrado [−1, 1] × [−1, 1] com condições de fronteira dadas por:
2
cos
(2n + 1)πy
2
.