Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

92 Kapitel 4. Differenzialrechnung
Abbildung 4.12.iii: Die Kardioide oder die Herzkurve (x 2 + y 2 ) 2 − 2ax(x 2 + y 2 ) = a 2 y 2
(links) und die Asteroide oder die Sternkurve 3√ x 2 + 3√ y 2 = 3√ a 2 (rechts)
Abbildung 4.12.iv: Die Kurven y 4 =
(
x+1
x−1) 3
(links) und x n +y n = 1, wobei n = 2, 4 und 40
(rechts).
Lösung 4.12.3. DieAbleitungderlinkenSeitef(x)v(x)istnachderProduktregelf ′ (x)v(x)+
f(x)v ′ (x). Die Ableitung der rechten Seite ist u ′ (x). Somit gilt
das heisst,
f ′ (x)v(x)+f(x)v ′ (x) = u ′ (x),
f ′ (x) = u′ (x)−f(x)v ′ (x)
v(x)
= u′ (x)− u(x)
v(x) v′ (x)
= u′ (x)v(x)−u(x)v ′ (x)
v(x) (v(x)) 2 .
Lösung 4.12.4. 53.13 ◦
4.13 Differenzieren nach Logarithmieren
Die letzte Ableitungsregel erlaubt das Differenzieren von Exponentialfunktionen aller Art. Sie
besteht aus zwei Schritten: Zuerst Logarithmieren, dann Differenzieren.
Beispiel 4.13.1. Um die Funktion f(x) = a x abzuleiten, setzen wir y = f(x) und logarithmieren
beide Seiten wie folgt:
ln(y) = xln(a).