Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

A.2. Folgen 423
Abbildung A.2.i: Tannenzapfen zeigen deutliche Spiralmuster. Folgen Sie einer grauen Spirale
vom Zentrum und zählen Sie die Schnittpunkte mit den hellgrauen Spiralen bis Sie eine
Fibonaccizahl erreichen. Nun folgen Sie der hellgrauen Spirale ins Zentrum und zählen die
Schnittpunkte mit den grauen Spiralen. Sie sollten jeweils zwei aufeinander folgende Fibonaccizahlen
erhalten. Da es sich hier um Natur pur handelt, können natürlich Ausnahmen von
dieser Regel vorkommen.
folgende Weise die so genannte Folge von Collatz (a n ) n∈N von natürlichen Zahlen
a n+1 =
{
an2
wenn a n gerade
3a n +1 wenn a n ungerade.
Beispiel A.2.1. Wir beginnen mit der Zahl a 1 = 3 und erhalten die Folge
Aus a 1 = 7 erhalten wir
3,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,2,...
7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,4,2,1,2,...
Wir beobachten: Tritt in der Zahlenfolge irgendwann eine Potenz von 2 auf, so müssen wir
nur noch einige Male halbieren und treffen dann mit Sicherheit auf die Zahl 1, und von da an
dreht sich dann die Folge ewig in der Schleife 1,4,2,1.
Vermutung A.2.1 (Collatz). Unabhängig vom Startwert a 1 endet die Folge von Collatz
immer in der Schleife 1,4,2,1.
Welches ist die nächste Zahl, die wir testen müssen? Alle Zahlen, die in einer der beiden
obigen Folgen vorkommen, haben die vermutete Eigenschaft. Die erste Zahl ist 6, aber das
ist zu einfach. Also nehmen wir a 1 = 9 und erhalten die Reihe 9,28,14,7,22 und dann geht
es weiter wie bei der zweiten Folge im Beispiel A.2.1.
Nun gut für kleine Zahlen können wir einzeln Nachprüfen, ob die Vermutung von Collatz
stimmt. Dies wurde dann auch für alle Zahlen bis etwa 10 40 mit Computern erfolgreich getestet.
Ein mathematisch geführter Beweis, der für alle natürlichen Zahlen gilt, ist aber bisher
noch nicht gefunden worden. Dieses Problem eignet sich ideal zum Nachrechnen mit dem
Computer oder einem Taschenrechner.