Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.8. Geometrische Bedeutung der Taylorreihe 255
Da nicht alle a n ungleich null sind, ist der Konvergenzradius mit dem Wurzelkriterium
zu bestimmen. Es gilt
n√
n! = +∞.
lim
n→∞
Mit dem Wurzelkriterium finden wir nun den Konvergenzradius
1
r =
lim √ n n→∞ |a n | = 1
√
n
lim 1 n→∞ (2n+1)!
= +∞.
Der Konvergenzradius beträgtr = +∞. Für kleines x könnenwir nunsin(x) ≈ x setzen,
da die Terme höherer Ordnung in der Taylorreihe des Sinus vernachlässigbar sind.
d. Die Taylorreihenentwicklung einer Polynomfunktion
p(x) = a 0 +a 1 x+···+a n x n
bricht natürlich nach dem n-ten Glied ab und ist die Polynomfunktion selber.
Nicht jede Funktion hat eine Maclaurinsche Reihe. Zum Beispiel besitzen die folgenden Funktionen
keine:
1
x , x 2 −1
, log(x), ...
x
Dies weil ihre Ableitungen im Nullpunkt nicht existieren. Wir werden in Kapitel 12.12 sehen,
wie diese Funktionen in Reihen zu entwickeln sind.
12.8 Geometrische Bedeutung der Taylorreihe
Es sei
f(x) =
∞∑
n=0
f (n) (0)
x n
n!
die Taylorreihe einer gegebenen Funktion f. Dann definieren wir die Polynomfunktionen
Nun sehen wir, dass
P 0 (x) = f(0),
P 1 (x) = f(0)+ f′ (0)
x,
1!
P 2 (x) = f(0)+ f′ (0)
1!
.
P m (x) =
m∑
n=0
f (n) (0)
x n .
n!
x+ f′′ (0)
x 2 ,
2!
• P 0 mit f im Nullpunkt nur die Ordinate gemeinsam hat,
• P 1 mit f im Nullpunkt zusätzlich die Tangente gemeinsam hat und
• P 2 mit f im Nullpunkt zusätzlich die Krümmung gemeinsam hat.