Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

188 Kapitel 10. Volumen, Oberflächen- und Bogenlängenberechnungen
Aufgabe 10.1.10. Die Ellipse mit der Gleichung x2
a 2 + y2
b 2 = 1 rotiere
a. um die x-Achse. Berechnen Sie V x .
b. um die y-Achse. Berechnen Sie V y .
Aufgabe 10.1.11. Wie gross sind die Volumina der Rotationshyperboloide, die durch Rotation
der Fläche unter der Hyperbel mit der Gleichung x2
a
− y2
2 b
= 1 um deren Hauptachsen
2
zwischen x 1 und x 2 respektive y 1 und y 2 entstehen?
Aufgabe 10.1.12. Durch das Integral
V x = π
∫ b
wird das Volumen eines Rotationskörpers bestimmt. Wie heisst die Gleichung der Kurve,
die die erzeugende Fläche von oben begrenzt? Welche Gestalt hat der entstehende Rotationskörper.
Aufgabe 10.1.13. Durch das Integral
V y =
∫ b
a
a
xdx
cos 2 (2y −1)dy
wird das Volumen eines Rotationskörpers bestimmt. Wie heisst die Gleichung der Kurve, die
die erzeugende Fläche von oben begrenzt?
Aufgabe 10.1.14. Durch das Integral
V x =
∫ b
a
√ xdx
wird das Volumen eines Rotationskörpers bestimmt. Wie heisst die Gleichung der Kurve, die
die erzeugende Fläche von oben begrenzt?
Lösungen
Lösung 10.1.1.
a. V x = 9 2 π b. V y =
√
3
5
5 π
Lösung 10.1.2. V x = 16
15 π ≈ 3.351
Lösung 10.1.3. V x = 1 3 πr2 h (Volumen eines geraden Kegels mit Radius r und Höhe h.)
Lösung 10.1.4. V x = π
Lösung 10.1.5. V x = 6.057
Lösung 10.1.6. V y = 6.903
Lösung 10.1.7. V x = 82π ≈ 257.611