Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.6. Integration von Differenzialgleichungen durch Separation 361
t :
t + ∆t :
v + ∆v − v A
•
M − m
• •
v
v + ∆v
∆m
M − (m + ∆m)
Abbildung21.6.ii: Schematische Darstellung der Herleitung der idealen Raketenbewegung mit
Hilfe des Impulserhaltungssatzes.
während der Zeit ∆t verbrannte Brennstoffmasse. Dann haben wir die Situation in Abbildung
21.6.ii.
Da keine Kräfte wirken, folgt aus dem Impulserhaltungssatz für die ganze Brenndauer, dass
Also haben wir zum Zeitpunkt t+∆t
(M −m)v = const.
(M −m)v = ∆m(v +∆v −v A )+(M −(m+∆m))(v +∆v)
und demzufolge
= ∆mv +∆m∆v −∆m v A +Mv −mv −∆mv +M∆v −m∆v −∆m∆v
0 = (M −m)∆v −∆m v A .
Die Geschwindigkeit v der Rakete hängt direkt von der verbrannten Brennstoffmenge m ab.
Je mehr Brennstoff verbrannt ist, desto schneller wird die Rakete. Nach Division mit ∆m
folgt
(M −m) ∆v
∆m = v A.
Nach dem Grenzübergang ∆m → 0 erhalten wir die durch Separation lösbare Differenzialgleichung
(M −m) dv
dm = v A.
Wir trennen die Variablen und integrieren
∫ ∫
dm
dv = v A
M −m .
Dies ergibt die allgemeine Lösung
v(m) = −v A ln(M −m)+C,
wobei C eine noch zu bestimmende Konstante ist. Nun setzen wir die Anfangsbedingung
v(0) = 0ms −1 ein und folgern, dass
v(0) = −v A ln(M)+C = 0,
also C = v A ln(M). Demzufolge erhalten wir eine partikuläre Lösung
( ) M
v p (m) = −v A ln(M −m)+v A ln(M) = v A ln .
M −m