Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

210 Kapitel 11. Integrationsmethoden
oder
∫
∫
uv ′ dx = uv −
u ′ vdx+C.
Da auf der rechten Seite noch ein Integral steht, kann die Integrationskonstante weggelassen
werden
∫ ∫
uv ′ dx = uv − u ′ vdx.
Dies ist dieFormel fürdiepartielleIntegration. Mit ihrkönnenFunktionen desTypsx n sin(x),
x n e x , x n ln(x) oder e x sin(x),...,arcsin(x),...,sin n (x),... integriert werden.
Beispiel 11.2.1. Wir betrachten das Integral
∫
xe x dx.
Nun setzen wir:
Dann ergibt sich
∫
∫
xe x dx = x(e x +C 1 )−
u = x und v ′ = e x
u ′ = 1 und v = e x +C 1
(e x +C 1 )dx = xe x +C 1 x−e x −C 1 x+C = xe x −e x +C,
wobei C 1 ,C ∈ R Integrationskonstanten sind. Wir sehen, dass sich die Konstante C 1 weghebt.
Das gilt für sämtliche partiellen Integrationen. Die Konstante C 1 kann deshalb immer
weggelassen werden. Der Ansatz u = e x und v ′ = x bringt keine Vereinfachung, im Gegenteil,
das enstehende Integral ∫ x 2 e x dx wird komplizierter.
Beispiel 11.2.2. Wir betrachten das Integral
∫
ln(x)dx.
Nun setzen wir:
u = ln(x) und v ′ = 1
u ′ = 1 x
und
v = x
Dann ergibt sich
∫
∫
ln(x)dx = xln(x)−
dx = xln(x)−x+C,
wobei C ∈ R eine Integrationskonstanten ist.
Beispiel 11.2.3. Wir betrachten das Integral
∫
e x cos(x)dx.