Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

412 Kapitel 22. Differenzialgleichungen in der Mechanik
Somit lautet die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung der erzwungenen Schwingung
s(t) = s h (t)+s 1 (t).
Aufgeschlüsselt nach den verschiedenen Graden der Dämpfung ergibt sich:
1. Wenn D = 0, dann s(t) = Rsin(ω 0 t+ϕ)+Ksin(ω 1 t+ψ).
2. Wenn 0 < D < 1, dann s(t) = Re −ρt sin(ωt+ϕ)+Ksin(ω 1 t+ψ), ω = ω 0
√
1−D 2 .
3. Wenn D = 1, dann s(t) = (C 1 t+C 2 )e −ρt +Ksin(ω 1 t+ψ).
4. Wenn D > 1, dann s(t) = e −ρt( C 1 e wt +C 2 e −wt) +Ksin(ω 1 t+ψ), w = ω 0
√
D 2 −1.
Die verschiedenen Konstanten werden unterschiedlich definiert:
• Die Konstanten R und ϕ, resp. C 1 und C 2 , sind durch die Anfangsbedingungen festgelegt.
• Die Konstanten K und ψ sind abhängig von ρ,ω 0 ,ω 1 und p 0 , also durch das System
und die einwirkende Störkraft gegeben.
FürdieAnwendunginteressiertebensoderGrenzfallwennt → ∞,dersogenanntestationäre
Zustand. Falls D > 0 gilt lim t→∞ s h (t) = 0, also folgt im stationären Zustand
s(t) ≈ s 1 (t).
s
1
1
t
Abbildung 22.4.ii: Die graue Kurve ist die gedämpfte Eigenschwingung des Systems mit
R = 2.5,ϕ = π 6
und Dämpfungsgrad D = 0.4. Die schwarze Kurve zeigt die erzwungene
Schwingung mit ω 1 = 5ω und K = 0.25. Nach dem Einschwingvorgang sehen wir nur noch
den stationären Zustand.
Zusammenfassung
Die Lösung der Differenzialgleichung der erzwungenen Schwingung besteht
1. aus der von den Anfangsbedingungen abhängigen Lösung der homogenen Differenzialgleichung
der freien Schwingung, die wesentlich zum Einschwingvorgang beiträgt und