Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

12.12. Erweiterte Ansatzmethode zur Reihenentwicklung 263
Unter Ausnutzung von 4arctan(1) = π haben wir nun die Möglichkeit die Zahl π auf beliebig
viele Stellen genau zu berechnen. Es gilt
π = 4
∞∑
n=0
(−1) n
2n+1 = 4( 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 −+···)
9
= 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751...
Da die Konvergenzgeschwindigkeit dieser Methode sehr schlecht ist, werden in der Praxis oft
andere Verfahren benutzt um die Zahl π explizit zu berechnen 5 .
Lösung 12.11.3. Taylorreihe ist e −x2 = ∑ ∞ (−1) n
n=0 n!
x 2n , Konvergenzradius beträgt r = +∞.
Lösung 12.11.4. Benutzen SiedieIdentität a x = e xln(a) . Taylorreihe ista x = ∑ ∞
Konvergenzradius beträgt r = +∞.
Lösung 12.11.5. Taylorreihe ist
(a+x) s = a s + sas−1
1!
x+ s(s−1)as−2
2!
x 2 +···+ s(s−1)(s−2)···(s−n+1)as−n
n!
x n +···
Konvergenzradius beträgt r = a.
Lösung 12.11.6. Taylorreihe ist ln(|1 + x|) = ∑ ∞
r = 1.
n=0
n=0
ln n (a)
n!
x n ,
(−1) n
n+1 xn+1 , Konvergenzradius beträgt
Lösung 12.11.7. Mit Ansatz ergibt sich f(x) = 1−2x+2x 2 −2x 4 +2x 5 +···.
Lösung 12.11.8. Mit Ansatz ergibt sich f(x) = 1+3x+2x 2 +4x 3 +x 4 −x 5 −11x 6 +···.
Lösung 12.11.9. Taylorreihe ist f(z) = z + 1 8 z4 − 1
eine Integrationskonstante ist.
56 z7 + 1
160 z10 −+··· +C, wobei C ∈ R
12.12 Erweiterte Ansatzmethode zur Reihenentwicklung
Im Folgenden wollen wir noch eine letzte Methode angeben um Taylorreihen von Funktionen
mit Singularitäten in ihren Singularitäten zu berechnen. Es handelt sich hier im Wesentlichen
um so genannte Laurentsche Reihen, die in der komplexen Analysis (Funktionentheorie)
studiert werden.
Beispiel 12.12.1. Betrachten wir die Funktion
f(x) = 1
cos(x) .
5 Diese am meisten zitierte Annäherungsformel für π stammt von Gottfried Wilhelm Leibniz. Diese Formel
bringt erst nach 2 Milliarden Termen nur 9 genaue Stellen und ist damit für die Berechnung von π hoffnungslos
ineffizient. Dafür fand 1706 John Machin eine sehr viel bessere arctan-Formel. Er berechnete damit immerhin
100 Dezimalstellen. Sie blieb der Standard für die Berechnung der π-Dezimalen bis ins Computerzeitalter.
Erst heutzutage werden bessere Annäherungen benötigt. Der Weltrekord wurde 1996 auf 8 Milliarden Stellen
geschraubt. Dies schafft heute schon ein PC. Im Dezember 2002 haben Y. Kanada und seine Kollegen von der
Universität Tokio die Berechnung von π auf 1.241 Billionen Stellen hochgeschraubt. Sie benötigten dazu 400
Stunden Rechenzeit auf einem Supercomputer von Hitachi.
Die Zahl π ist eine transzendente Zahl, d.h., sie ist nicht Lösungeiner polynomialen Gleichung mit ganzzahligen
Koeffizienten.