Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

13.4. Der Satz von Schwarz 275
13.4 Der Satz von Schwarz
Sinngemässlässt sichderBegriff derpartiellen AbleitungauchaufFunktionenf : R n → Rvon
n Variablen x 1 ,...,x n ausdehnen. Für die partiellen Ableitungen schreiben wir entsprechend
∂ ∂
f,..., f oder in der Kurzschreibweise f x1 ,...,f xn .
∂x 1 ∂x n
Es lassen sich auch partielle Ableitungen höherer Ordnung bilden. Zweite Ableitungen
schreiben sich dann ( )
∂ ∂
f = f xi x
∂x j ∂x j
,
i
wobei i,j ∈ {1,...,n}. Beachten Sie, dass hier zuerst nach x i und dann nach x j partiell
abgeleitet wird. Im Falle einer Funktionen f : R 2 → R zweier Variablen x und y haben wir
also bereits vier zweite Ableitungen zu bilden, d.h. f xx , f yy und die gemischten f yx , f xy .
f
f x
f y
1. Ordnung
f xx
f xy
f yx
f yy 2. Ordnung
f xxx f xxy f xyx f xyy f yxx f yxy f yyx f yyy 3. Ordnung
Abbildung 13.4.i: Die verschiedenen gemischten Ableitungen bis zur 3. Ordnung einer Funktion
f : R 2 → R zweier Variablen x und y
Bei den gemischten Ableitungen können wir uns in gewissen Fällen ein Teil der Arbeit ersparen,
da der folgende Satz von Schwarz gilt.
Satz 13.4.1 (Hermann Amadeus Schwarz, 1843-1921). Unter der Voraussetzung, dass die
Funktion f und ihre partiellen Ableitungen stetig sind, ist die Reihenfolge der partiellen Differenziation
gleichgültig.
Abbildung 13.4.ii: Hermann Amadeus Schwarz, 1843-1921