Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

332 Kapitel 20. Arbeit und Linienintegrale
y
y(t)
⃗r(t)
˙⃗r(t)
x(t)
x
Abbildung 20.1.i: Ortsvektor und Tangentialvektor einer Bahnkurve in der Ebene.
und im Raum
⎛
˙⃗r(t) = ⎝
ẋ(t)
ẏ(t)
ż(t)
⎞
⎠ = ẋ(t)⃗e x +ẏ(t)⃗e y +ż(t)⃗e z .
Beispiel 20.1.1. Ein Massenpunkt bewegt sich in der Ebene auf einer Kreisbahn mit Radius
R, dann sind seine Bahnkoordinaten durch
x(t) = Rcos(t) und y(t) = Rsin(t)
gegeben. Also haben wir den Ortsvektor der Bahnkurve
⃗r(t) =
( Rcos(t)
Rsin(t)
Der Geschwindigkeitsvektor in jedem Punkt der Bahnkurve ist demzufolge durch
( ) −Rsin(t) ˙⃗r(t) =
Rcos(t)
gegeben. Beachten Sie, dass in diesem Fall der Ortsvektor und der Geschwindigkeitsvektor
senkrecht stehen.
)
.
Aufgaben
Aufgabe 20.1.1. Parametrisieren Sie alle Geradenstücke die im Punkt P(1,1) enden (vgl.
Abbildung 20.1.ii, links).
Aufgabe 20.1.2. Parametrisieren Sie die Ellipse mit Mittelpunkt bei M(x M ,y M ) in Abbildung
20.1.iii, rechts.
Aufgabe 20.1.3. Parametrisieren Sie die Normparabel mit Scheitel bei S(x S ,y S ) in Abbildung
20.1.iv.
Aufgabe 20.1.4. Parametrisieren SiedieSchraubenlinie(Helix) mit GanghöhehundRadius
R in Abbildung 20.1.v.