Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

Kapitel 22
Differenzialgleichungen in der
Mechanik
Grundlage für das Folgende sind die Newtonschen Axiome, die wir hier kurz repetieren:
1. Trägheitsprinzip: Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen
Bewegung, solange keine äusseren Einflüsse auf ihn wirken. Die Geschwindigkeit
eines solchen sich frei bewegenden Körpers ist nach Betrag und Richtung konstant.
2. Beschleunigungsprinzip: Durch einwirkendeKräfteerfährtein KörpereineBeschleunigung,
die der Kraft proportional ist und deren Richtung besitzt: Kraft = Masse ×
Beschleunigung. (Zu Ehren Sir Isaac Newtons wird die Einheit der Kraft 1 N (Newton)
genannt.)
3. Wechselwirkungsprinzip (actio = reactio): Übt ein Körper A auf einen Körper B
eine Kraft aus (actio), soübt auch Bauf A eine Kraft aus, Gegenkraft (reactio) genannt,
die entgegengesetzt gleich der ersten Kraft ist.
Wir stellen im Folgenden die verschiedenen Anwendungen der Differenzialgleichung in elementaren
Aufgabenstellungen zusammen.
Es sei s = s(t) der zurückgelegte Weg, v(t) = ṡ(t) die Geschwindigkeit 1 und a(t) = ˙v(t) = ¨s(t)
die Beschleunigung in Funktion der Zeit. Nach dem Newtonschen Beschleunigungsprinzip
lautet die Bewegungsgleichung
m¨s = F,
wobei F die Summe aller wirkenden Kräfte ist.
Vier verschiedene Fälle wollen wir nun betrachten:
1. Die Kraft ist nur eine Funktion der Zeit
m¨s = F(t).
Die Differenzialgleichung lässt sich durch zweimaliges Integrieren lösen (vgl. Kapitel
21.11). Ein Beispiel dazu ist der freie Fall ohne Luftwiderstand im Gravitationsfeld der
Erde (vgl. Kapitel 22.1).
1 Der Punkt bedeutet die Ableitung nach der Zeit t, d.h. ṡ(t) = ds
dt (t).
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