Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

54 Kapitel 4. Differenzialrechnung
f heisst differenzierbar an der Stelle x, wenn dieser Grenzwert existiert. Das Bilden der
Ableitung wird Differenzieren genannt.
Im Allgemeinen können wir nicht einfach ∆x = 0 in die Formel der Sekantensteigung einsetzen,
da der unbestimmte Ausdruck 0 0
entstehen würde. Es spielen hier die Überlegungen,
die wir im Kapitel 3.5 bezüglich Singularitäten von Funktionen gemacht haben, eine entscheidende
Rolle. Betrachten wir nämlich den Differenzenquotienten ∆y
∆x
für festes x, so kann er
als Funktion von ∆x aufgefasst werden. Er besitzt dann immer an der Stelle ∆x = 0 eine
Lücke, was sich im Auftreten des unbestimmten Ausdrucks 0 0
zeigt. Die Grenzwertberechnung
geschieht dann allgemein so, dass wir durch Umformen und Kürzen mit ∆x zu einer Funktion
von ∆x übergehen, die an der Stelle ∆x = 0 keine Lücke besitzt und dort sogar stetig
ist, und deren Funktionswert deshalb mit dem allgemeinen Grenzwert übereinstimmt. Da die
entstehende Funktion sonst mit dem ursprünglichen Differenzenquotienten identisch ist, ist
der gesuchte Grenzwert gleich diesem Funktionswert.
Beispiel 4.1.1. Wir möchten die Ableitung der Funktion f(x) = x 2 bilden. Der Differenzenquotient
lautet
∆y
∆x = f(x+∆x)−f(x) = (x+∆x)2 −x 2
∆x ∆x
= 2x∆x+(∆x)2
∆x
Gehen wir zum Grenzwert über, so erhalten wir die Ableitung
= 2x+∆x.
f ′ ∆y
(x) = lim
∆x→0 ∆x = lim 2x+∆x = 2x.
∆x→0
Mit diesem Ausdruck lässt sich nun die Tangentensteigung für jeden Punkt der Kurve y =
f(x) ermitteln. Zum Beispiel ist sie im Punkt P(1,1) gleich 2, im Punkt P(2,4) gleich 4,
im Punkt P(3,9) gleich 6 usw. (vgl. Abbildung 4.1.ii). Somit können wir für jedes x die
y
•(3,9)
(2,4)
•
(1,1)
•
x
Abbildung 4.1.ii: Einige Tangenten an die Kurve y = x 2
Tangentensteigung angeben. Anders gesagt ist f ′ eine Funktion von x. Wir nennen diese
Funktion die erste Ableitung der Funktion f.
Wir bleiben noch eine Weile bei der Funktion f(x) = x 2 , um die Tangenten an ihre Kurve
genauer zu betrachten. Insbesondere möchten wir herausfinden, wo die Tangente im Punkt