Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

20.1. Kurven und Vektorfelder im Raum und in der Ebene 335
LM Forecast 04.06.2002 00 UTC +33h
10m Wind in m/s Every gridpoint
6 O E
8 O E
VT: Wed 5 Jun 2002 09 UTC
12.0 m/s
10 O E
Copyright MeteoSwiss
47 O N
46 O N
6 O E
MAGICS 5.5 terra - morsier Wed Jun 19 11:50:37 2002 622
8 O E
10 O E
Abbildung 20.1.vii: Windfeld für den 5. Juni 2002 um 11 Uhr auf 10m über der Modelltopographie
in einem Ausschnitt über der Schweiz. Die Schweizer Grenze, Boden-, Genfer- und
Langensee sowie die wichtigsten Flüsse sind eingezeichnet. Quelle: Meteo Schweiz
mit| F(x,y)| ⃗ 2 = x 2 +y 2 = r 2 inderEbenevorgegeben. Der allgemeine Geschwindigkeitsvektor
im Punkt (x,y) hat die Form
( ) ẋ(t) ˙⃗r(t) = .
ẏ(t)
Somit gilt die Differenzialgleichung ⃗ F = ˙⃗r, oder in Komponenten ausgeschrieben
ẋ = −y und ẏ = x.
Es handelt sich hier um ein Differenzialgleichungssystem, welches wir mit den in Kapitel 23
diskutierten Methoden lösen können. Wir betrachten die zeitliche Ableitung von ẋ = −y und
setzen diese in der zweiten Gleichung ein, um
ẍ+x = 0
zu erhalten. Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ist
x(t) = Acos(t)+Bsin(t)
mit A und B beliebige reelle Konstanten. Somit ergibt sich unmittelbar
y(t) = −ẋ(t) = Asin(t)−Bcos(t).
Wählen wir die Anfangsbedingung x(0) = r und y(0) = 0, dann folgt A = r und B = 0. Also
handelt es sich hier um eine starre Drehbewegung um den Ursprung mit Radius r
⃗r(t) =
( rcos(t)
rsin(t)
)
.