Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

206 Kapitel 11. Integrationsmethoden
Lösung 11.1.27. 1.1941
Lösung 11.1.28.
a. 3.873 b. 32.813
Lösung 11.1.29. 9.1398
Lösung 11.1.30. 4.935
Lösung 11.1.31. 0.422
Lösung 11.1.32. 14 3
Lösung 11.1.33. π 2 r
Lösung 11.1.34. 1−arcoth(3)+arcoth(2) ≈ 1.2027
Lösung 11.1.35. 2− π 4
Lösung 11.1.36. area(Torus) = 4π 2 ar
Substitution mit trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen
Integrale der Form
∫
f
∫
∫
( )
x,
√a 2 −x 2 dx
f
(x, √ )
a 2 +x 2 dx
f
(x, √ )
x 2 −a 2 dx
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel:
∫
x 2√ 1−x 2 dx
∫ √
4+x 2
dx
x
∫ √
x 2 −a 2
dx
werden mit Hilfe trigonometrischer, resp. hyperbolischer Funktionen substituiert (vgl. Aufgabe
11.1.22.a). Zusätzlich alle die Fälle, die unter einer Quadratwurzel einen quadratischen
Ausdruck ax 2 +bx+c haben.
∫
f
(
x, √ ax 2 +bx+c
)
dx
Beispiel:
∫
x 2
dx
√
9x 2 −6x−3
Mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung werden diese Ausdrücke auf die rein quadratischen
Fälle zurückgeführt (vgl. Beispiel 11.1.12).
Zur Substitution benutzen wir die Beziehungen
cos 2 (z)+sin 2 (z) = 1 und cosh 2 (z)−sinh 2 (z) = 1,
um Summen und Differenzen unter der Quadratwurzel wegzubringen. In der folgenden Übersicht
sind die bei den verschiedenen Integranden anzuwendenden Substitutionen und die zugehörigen
Umrechnungsformeln zusammengestellt.
√ √ √
a 2 −x 2 = a 2 −a 2 sin 2 (z) = a 1−sin 2 (z) = acos(z) wenn x = asin(z)
√ √ √
a 2 +x 2 =
a 2 +a 2 sinh 2 (z) = a 1+sinh 2 (z) = acosh(z) wenn x = asinh(z)
√
cosh 2 (z)−1 = asinh(z) wenn x = acosh(z)
√
x 2 −a 2 =
√
a 2 cosh 2 (z)−a 2 = a
Bei bestimmten Integralen achten wir darauf, dass die Grenzen im Definitionsbereich der
verwendeten Funktionen liegen.