Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.8. Integration von linearen Differenzialgleichungen erster Ordnung 365
Aufgaben
Aufgabe 21.7.1. Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorienschar zu xy = k mit Scharparameter
k ∈ R−{0}.
Aufgabe 21.7.2. Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorienschar zu y = e −x +C, mit Scharparameter
C ∈ R.
Aufgabe 21.7.3. Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorienschar zu y = Ce x , mit Scharparameter
C ∈ R.
Aufgabe 21.7.4. Bestimmen Sie die Orthogonaltrajektorienschar der Geradenschar durch
den Punkt P(1,2). Machen Sie eine Skizze.
Lösungen
Im Folgenden bezeichnet C ∈ R eine Konstante.
Lösung 21.7.1. Implizite Lösung x 2 −y 2 = C
Lösung 21.7.2. y = e x +C
Lösung 21.7.3. Implizite Lösung y 2 = −2x+C
Lösung 21.7.4. Implizite Lösung (x−1) 2 +(y−2) 2 = C, konzentrische Kreise mit Zentrum
P(1,2).
21.8 Integration von linearen Differenzialgleichungen erster
Ordnung
Eine lineare Differenzialgleichung erster Ordnung hat folgende allgemeine Form
g(x)y ′ +h(x)y = S(x) wobei g(x) ≠ 0.
Weil die Funktion y und ihre Ableitung y ′ nur in der ersten Potenz auftreten, heisst die
Differenzialgleichung linear. Um diese Differenzialgleichung zu lösen, bringen wir sie auf
Normalform
y ′ + h(x)
g(x) y = S(x)
g(x)
oder
y ′ +f(x)y = s(x) mit f(x) = h(x)
g(x)
und s(x) = S(x)
g(x) .
Die Funktion s wird Störfunktion genannt, da sie die homogene Differenzialgleichung stört.
Ist die Funktion s(x) ≠ 0, so heisst eine solche Differenzialgleichung eine inhomogene lineare
Differenzialgleichung erster Ordnung. Im Falle s(x) = 0, nennen wir die Differenzialgleichung
homogen. Die homogene Differenzialgleichung ist der bereits besprochene
Fall einer separierbaren Differenzialgleichung:
y ′ +f(x)y = dy
dx +f(x)y = 0