Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

21.6. Integration von Differenzialgleichungen durch Separation 359
y
y
•
y = f(x)
y
a
x
a
x
Abbildung 21.6.i: Kurve mit einer Subnormalen konstanter Länge
Generell können wir folgende Lösungsmethode angeben:
• Identifikation: Handeltessich beidergegebenen Differenzialgleichung umeinevonder
Form y ′ (x) = g(x)·h(y(x))? Wenn ja, darf weiter nach diesem Programm vorgegangen
werden.
• Variablen trennen: Differenzialgleichung in die Form dy
h(y)
= g(x)dx bringen.
• Integration: Integrieren der Gleichung ∫ dy
h(y) = ∫ g(x)dx
• Auflösen: Wenn möglich auflösen nach y. Einsetzen der Anfangsbedingung.
• Kontrolle: Kontrollieren der Lösung durch Einsetzen in die ursprüngliche Differenzialgleichung.
Beispiel 21.6.3. Bei einer gewissen Bewegung sei das Verhältnis zwischen der Geschwindigkeit
[in ms −1 ] und dem durchlaufenen Weg [in m] konstant gleich 2s −1 . Zum Zeitpunkt, in
dem wir mit der Zeitmessung beginnen, d.h. für t = 0s, betrugder durchlaufeneWeg x = 2m.
Wir wollen den durchlaufenen Weg bis zum Zeitpunkt t = 5s berechnen.
Wir finden v x = 2s−1 , wobei die Geschwindigkeit v die erste Ableitung des Weges x nach der
Zeit t ist, i.e. v = dx
dt
. Damit ergibt sich unmittelbar die Differenzialgleichung
dx
dt = 2s−1 x mit der Anfangsbedingung x(0s) = 2m.
Zum Lösen der Differenzialgleichung trennen wir die Variablen dx
x = 2s−1 dt und integrieren
ln(|x|) = 2s −1 t+C, wobei C ∈ R eine noch zu bestimmende Konstante ist. Auflösen nach x
ergibt
|x| = e 2s−1 t+C = e 2s−1t e C = De 2s−1 t
mit einer neuen Konstanten D = e C ∈ R. Die Betragszeichen können weggelassen werden, da
die neue Konstante D beliebiges Vorzeichen haben darf. Somit erhalten wir die allgemeine
Lösung
x(t) = De 2s−1t .
Bestimmen der Konstante D durch Einsetzen der Anfangsbedingungergibt x(0s) = 2m = D,
also erhalten wir die partikuläre Lösung x p (t) = 2me 2s−1t . Der zurückgelegte Weg nach 5s
berechnet sich nun zu x p (5s) = 2me 10 ≈ 44km.