Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4.15. Differenzierbarkeit einer Funktion 101
ist bei x = 0 nicht differenzierbar. Die linksseitige Steigung bei x = 0 beträgt
und die rechtsseitige
f(x)−f(x−∆x) |0|−|0−∆x| −∆x
lim = lim = lim
∆x↓0 ∆x ∆x↓0 ∆x ∆x↓0 ∆x = −1
f(x+∆x)−f(x) |0+∆x|−|0| ∆x
lim = lim = lim
∆x↓0 ∆x ∆x↓0 ∆x ∆x↓0 ∆x = 1.
Demzufolge existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten bei x = 0 nicht. Also hat die
Betragsfunktion dort einen Knick und ist somit dort nicht differenzierbar.
Beispiel 4.15.3. Die nachfolgende Funktion f(x) = x 2 − |x − 1| − 2 ist stetig, aber nicht
differenzierbar. Diese Funktion besteht aus den beiden folgenden Teilen.
{ x
f(x) =
2 {
+x−3 wenn x−1 < 0 (x+
1
x 2 −x−1 wenn x−1 ≥ 0 = 2 )2 − 13 4
wenn x < 1
(x− 1 2 )2 − 5 4
wenn x ≥ 1
y = (x + 1 2 )2 − 13 4
y
y = (x − 1 2 )2 − 5 4
1
x
Abbildung 4.15.iii: Die Funktion f(x) = x 2 − |x − 1| − 2 ist bei x = 1 stetig, aber nicht
differenzierbar.
Beispiel 4.15.4 (Weierstrass, 1872). Die obigen Beispiele könnten zur falschen Annahme
verleiten, dass Stellen, an denen eine Funktion nicht differenzierbar ist, immer isoliert auftreten.
Dies ist nicht der Fall. Es gibt stetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind. Die
folgende Funktion wurde von K. T. Weierstrass 1872 gefunden (vgl. [12]).
f(x) =
∞∑
b n cos(a n x)
n=1
Die Funktion f konvergiert wenn b < 1 und ist nirgends differenzierbar wenn ab > 1+ 3π 2 .