Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

36 Kapitel 3. Grenzwerte
Aufgabe 3.1.2. Es sei das n-te Glied a n angegeben. Für welche c ∈ R ist die Folge (a n ) n∈N
eine Nullfolge?
a. a n = n c
b. a n = c n c. a n = n√ c−1
Aufgabe 3.1.3. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte, wobei a, b, c und d konstante reelle
Zahlen sind.
n
a. lim
n→∞ n+1
an
b. lim
n→∞ n+1
Aufgabe 3.1.4. Bestimmen Sie den Grenzwert
wobei c eine konstante reelle Zahl ist, und
a. |c| > 1,
b. c ∈ ]−1,0[∪]0,1[.
lim
n→∞
1
1+c n,
an+b
c. lim
n→∞ cn+d
(n−5) 2
d. lim
n→∞ n 2 +1
Aufgabe 3.1.5. Es sei
a n =
(
1+ 1 n) n
für alle n ∈ N.
Die Eulersche Zahl e wird als Grenzwert der Zahlenfolge (a n ) n∈N definiert:
(
e = lim 1+ 1 n
.
n→∞ n)
Versuchen Sie, die Zahl e zu schätzen, in dem Sie das Glied a n für n = 1, 10, 100, 10 4 , 10 7 ,
10 12 mit einem Taschenrechner berechnen.
Abbildung 3.1.ii: Leonard Euler, 1707-1783