Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

176 Kapitel 9. Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen
3. Hyperbelfunktionen des doppelten Arguments
sinh(2x) = 2sinh(x)cosh(x)
cosh(2x) = cosh 2 (x)+sinh 2 (x)
4. Hperbolischer Pythagoras
cosh 2 (x)−sinh 2 (x) = 1
Beweis. Die Beweise erfolgen jeweils durch Einsetzen der Definitionen der Hyperbelfunktionen.
1. cosh(x)+sinh(x) = ex −e −x
2
+ ex +e −x
2
= e x
2. Vergleiche Aufgabe 9.1.3.
3. Vergleiche Aufgabe 9.1.4.
4. cosh 2 (x)−sinh 2 (x) =
(
e x +e −x
2
) 2
−
(
e x −e −x
2
) 2
=
e 2x +2+e −2x −e 2x +2−e −2x
4
= 1
Ableitungen der Hyperbelfunktionen:
Sämtliche Ableitungen der Hyperbelfunktionen erhalten wir aus deren Definitionen.
1.
2.
3.
4.
d
dx tanh(x) = d
dx
d
dx sinh(x) = d e x −e −x
dx 2
d
dx cosh(x) = d e x +e −x
dx 2
= ex +e −x
2
= ex −e −x
2
sinh(x)
cosh(x) = cosh2 (x)−sinh 2 (x)
cosh 2 =
(x)
d
dx coth(x) = d cosh(x)
dx sinh(x) = sinh2 (x)−cosh 2 (x)
sinh 2 (x)
= cosh(x)
= sinh(x)
1
cosh 2 (x) = 1−tanh2 (x)
1
= −
sinh 2 (x) = 1−coth2 (x)
Grundintegrale mit Hyperbelfunktionen:
1. ∫
2. ∫
sinh(x)dx = cosh(x)+C
cosh(x)dx = sinh(x)+C
3. ∫
∫
dx
cosh 2 (x) = tanh(x)+C und
tanh 2 (x)dx = x−tanh(x)+C