Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

4 Kapitel 1. Grundbegriffe der Mengenlehre
•• ••• • • • •
•
•
• •
0 1 1 1 1 1
1
0 a
6 5 4 3 2
Abbildung 1.4.iii: A = { 1 n | n ∈ N}
Abbildung 1.4.iv: B = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ a}
• I = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
Beide Randpunkte a und b gehören dem Intervall I an. Ein solches Intervall heisst
abgeschlossen und wird durch [a,b] bezeichnet (vgl. Abbildung 1.4.v).
• I = {x ∈ R | a < x < b}
Keiner der beiden Randpunkte a und b gehört dem Intervall I an. Ein solches Intervall
heisst offen und wird durch ]a,b[ bezeichnet 3 (vgl. Abbildung 1.4.vi).
• I = {x ∈ R | a < x ≤ b} oder I = {x ∈ R | a ≤ x < b}
Die Randpunkte a und b gehören nicht beide dem Intervall I an. Ein solches Intervall
heisst linksoffen oder rechtsoffen und wird durch ]a,b] oder [a,b[ bezeichnet 4 (vgl.
Abbildungen 1.4.vii und 1.4.viii).
• •
b
a
•
a
•
b
Abbildung 1.4.v: I = [a,b]
Abbildung 1.4.vi: I =]a,b[
•
a
•
b
• •
b
a
Abbildung 1.4.vii: I =]a,b]
Abbildung 1.4.viii: I = [a,b[
Die obigen Intervalle sind durch die Zahlen a und b eingeschränkt und werden deshalb beschränkt
genannt. Neben den beschränkten Intervallen sind auch solche zu betrachten, die
rechts, links oder beidseits keiner Beschränkung unterworfen sind. Solche unbeschränkte
Intervalle stellen wir unter Verwendung des Zeichens 5 ∞ dar:
]a,∞[ = {x ∈ R | x > a} [a,∞[ = {x ∈ R | x ≥ a}
]−∞,a[ = {x ∈ R | x < a} ]−∞,a] = {x ∈ R | x ≤ a}
]−∞,∞[ = R.
Im allgemeinen heisst eine Menge A beschränkt, wenn sie Teilmenge eines beschränkten
Intervalls ist, das heisst, wir können zwei Zahlen a und b finden, so dass A ⊆ [a,b]. Sonst
heisst sie unbeschränkt
Beispiel 1.4.3. Die Menge A = { 1 n
Teilmenge des Intervalls ]0,1].
| n ∈ N} des Beispieles 1.4.1 ist beschränkt: Sie ist eine
3 In der Literatur wird häufig die alternative Notation (a,b) für offene Intervalle gebraucht. Wir bevorzugen
die Schreibweise ]a,b[, da sie nicht zu einer Verwechslung mit den Koordinaten (a,b) eines Punktes führt.
4 Die entsprechenden alternativen Notationen sind (a,b] und [a,b).
5 Das Zeichnen ∞ steht für (positiv) unendlich.