Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

156 Kapitel 7. Das Riemannsche Integral
Abbildung 7.1.v: Lejeune Dirichlet, 1805-
1859
Abbildung 7.1.vi: Henri Lebesgue, 1875-
1941
Numerische Integration
Das Approximationsverfahren mit Hilfe der Riemannschen Unter- und Obersumme kann zur
numerischen Berechnung von bestimmten Integralen verwendet werden. Das Integrationsintervall
[a,b] wird in n gleich grosse Teilintervalle unterteilt. Wir können entweder den Funktionswert
am linken Teilintervallende nehmen, dann gilt
∫ b n∑
(
b−a
f(x)dx ≈
n ·f (b−a) k −1 )
n +a
oder am rechten Ende, dann gilt
a
∫ b
a
f(x)dx ≈
k=1
n∑
k=1
b−a
n ·f (
(b−a) k n +a )
.
Bei einfachen Funktionen reichen oft schon wenige Teilintervalle. Um eine bessere Konvergenz
zu erhalten, können wir auch die Fläche unter dem Grafen der Funktion durch Trapeze
approximieren. Dann erhalten wir
∫ b
a
f(x)dx ≈
n∑ b−a
n · f( (b−a) k−1
n +a) +f ( (b−a) k n +a) .
2
k=1
Beispiel 7.1.3. Wir wollen das bestimmte Integral
∫ 1
0
x 2 dx = 1 3
als endliche Riemannsumme berechnen. Es sei n die Anzahl der Teilintervalle.
n 1 5 10 50 100
Rechteckapproximation (links) 0 0.24 0.285 0.3234 0.32835
Trapezapproximation 0.5 0.34 0.335 0.3334 0.33335
Rechteckapproximation (rechts) 1 0.44 0.385 0.3434 0.33835
Für n → ∞ konvergiert die Approximation natürlich gegen den exakten Wert 1 3 .