Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

196 Kapitel 11. Integrationsmethoden
welches kein Grundintegral ist. Der Integrand f(x) = 1 √ 3x−2
setzt sich aus den Funktionen
f(z) = 1 √ z
und z(x) = 3x − 2 zusammen. Die Funktion f(z) = 1 √ z
lässt sich aber leicht
integrieren
∫ dz
√ z
= 2 √ z +C,
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist. Also machen wir beim gegebenen Integral eine
Variablensubstitution indem wir z(x) = 3x−2 setzen und
∫ ∫
dx dx
√ = √ 3x−2 z
erhalten. Jetzt muss noch dx ersetzt werden. Aus z = 3x−2 folgt das Differenzial
dz = 3dx also sofort dx = 1 3 dz.
Demnach folgt
∫
dx
√ = 1 ∫ dz
√ = 1 3x−2 3 z 3 2√ z +C = 2 3x−2+C,
3√
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
Beispiel 11.1.2. Analog verfahren wir mit dem Integral
∫
(4x+2) 5 dx,
welches auch kein Grundintegral ist. Wir setzen z(x) = 4x+2, also dz = 4dx, dann folgt
∫
(4x+2) 5 dx = 1 ∫
z 5 dz = 1 z 6
4 4 6 +C = 1
24 (4x+2)6 +C,
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
Aufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
∫ √5x+3dx
Aufgabe 11.1.1.
Aufgabe 11.1.2.
Aufgabe 11.1.3.
∫
∫
dt
2t+3
3 2−z dz
Aufgabe 11.1.6.
Aufgabe 11.1.7.
Aufgabe 11.1.8.
∫
∫
∫
5du
6√ 2u−7
3
cos 2 (4α−2) dα
cosh 2 (u)du
Aufgabe 11.1.4.
∫
cos(2ϕ+0.5)dϕ
Aufgabe 11.1.9.
∫
sinh 2 (x)dx
Aufgabe 11.1.5.
∫
dx
√
9x 2 −1