Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

324 Kapitel 19. Mehrfache Integrale
Lösungen
Lösung 19.2.1. 1
Lösung 19.2.2. (e−1) 2
Lösung 19.2.3. 8 3
Lösung 19.2.4. 1 3
Lösung 19.2.5.
3
20
Lösung 19.2.7. 136
3
Lösung 19.2.8. 104
3
Lösung 19.2.9. r4
8p
Lösung 19.2.10. 5 6
Lösung 19.2.11. r3 3
Lösung 19.2.6. 1 3
19.3 Variablensubstitution in einem Mehrfachintegral
Wir haben gesehen, dass es in einigen Fällen recht mühsam sein kann, die richtigen Integrationsgrenzen
zu finden. Vor allem, wenn die Geometrie des Gebietes D mit kartesischen
Koordinaten schlecht beschrieben werden kann, empfiehlt es sich eventuell, andere, besser
passende Koordinaten zu verwenden. Zu diesem Zweck führen wir eine Substitution durch.
• Die Substitutionsgleichungen für zwei Variablen lauten
J(u,v) = det⎜
⎝
x = φ(u,v),
y = ψ(u,v).
Ist im Gebiet D die Funktionaldeterminante
⎛
∂φ(u,v)
∂u
dann gilt
∫∫
D
= ∂φ(u,v)
∂u
∫∫
f(x,y)dxdy =
∂ψ(u,v)
∂u
∂ψ(u,v)
∂v
D
∂φ(u,v)
∂v
∂ψ(u,v)
∂v
⎞
⎟
⎠
− ∂ψ(u,v)
∂u
• Die Substitutionsgleichungen für drei Variablen lauten
∂φ(u,v)
∂v
≠ 0,
f(φ(u,v),ψ(u,v))J(u,v)dudv
x = φ(u,v,w),
y = ψ(u,v,w),
z = θ(u,v,w).
Ist im Gebiet D Funktionaldeterminante
⎛
∂φ(u,v,w) ∂φ(u,v,w)
∂u ∂v
J(u,v,w) = det
∂ψ(u,v,w) ∂ψ(u,v,w)
⎜ ∂u ∂v
⎝
∂θ(u,v,w) ∂θ(u,v,w)
∂u ∂v
∂φ(u,v,w)
∂w
∂ψ(u,v,w)
∂w
∂θ(u,v,w)
∂w
⎞
≠ 0,
⎟
⎠