Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

220 Kapitel 11. Integrationsmethoden
Somit kann zu folgendem Integral eine Stammfunktion gefunden werden
∫
3x+2
x 2 +x−2 dx = 5 ∫
dx
3 x−1 + 4 ∫
dx
3 x+2 = 5 3 ln(|x−1|)+ 4 3 ln(|x+2|)+C,
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
b. Gegeben sei die rationale Funktion
r(x) = 2x2 +1
x 2 +2x−8
welche durch eine Polynomdivision auf die Form
r(x) = 2x2 +1 −4x+17
x 2 = 2+
+2x−8 x 2 +2x−8
gebracht wurde. Gesucht seien die reellen Koeffizienten A und B, so dass die Gleichung
−4x 2 +17
x 2 +2x−8 = A
x+4 + B
x−2
gilt. Durch Ausmultiplizieren erhalten wir die Gleichung
−4x+17 = A(x−2)+B(x+4).
Diese Gleichung muss für alle x-Werte gelten, also insbesondere für die Nullstellen des
Nenners.
1. Nennernullstelle x 1 = 2 ergibt 9 = 6B also B = 3 2
2. Nennernullstelle x 2 = −4 ergibt 33 = −6A also A = − 11 2
Somit kann zu folgendem Integral eine Stammfunktion gefunden werden
∫
2x 2 ∫
+1
x 2 +2x−8 dx = 2dx− 11 ∫
dx
2 x+4 + 3 ∫
dx
2 x−2
wobei C ∈ R eine Integrationskonstante ist.
Aufgaben
= 2x− 11 2 ln(|x+4|)+ 3 2 ln(|x−2|)+C,
Aufgabe 11.3.1. Berechnen Sie die Stammfunktion
∫
−x+4
F(x) =
x 2 −x−2 dx.
Aufgabe 11.3.2. Berechnen Sie die Stammfunktion
∫
2w 2 −w +2
F(w) =
w 3 +2w 2 −5w −6 dw.
Aufgabe 11.3.3. Berechnen Sie das bestimmte Integral
I =
∫ 0
−1
5s 3 −2s 2 +s−1
s 2 +s−2
Aufgabe 11.3.4. Berechnen Sie die Stammfunktion
∫ 2x 4 +4x 3 −2x 2 −x+6
F(x) =
x 4 +x 3 −7x 2 −x+6 dx.
ds.