Analysis I - IV - Fachhochschule Nordwestschweiz

3.5. Singularitäten einer Funktion 47
Beispiel 3.4.4. Die Abrundungsfunktion 3
f : R −→ Z
x ↦−→ ⌊x⌋,
welche in der Informatik oft floor heisst, ist unstetig: Ihr Grenzwert ist bei den ganzen
Zahlen nicht definiert (vgl. Abbildung 3.4.vi).
y
•
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•
•
•
•
•
x
•
•
•
•
•
•
Abbildung 3.4.vi: Der Graf der Abrundungsfunktion f(x) = ⌊x⌋
Beispiel 3.4.5. Die Dirichletfunktion
χ Q : R −→ {0,1}
{
1 wenn x ∈ Q
x ↦−→
0 wenn x ∈ R−Q.
ist in keinem Punkt ihres Definitionsbereichs stetig.
3.5 Singularitäten einer Funktion
In den Abbildungen 3.5.i bis 3.5.iii sind die drei typischen Fälle von Singularitäten dargestellt.
Wir unterscheiden hebbare und nicht-hebbare Singularitäten. Hebbar heisst eine
Singularität, wenn durch geeignete Definition des Funktionswertes die Funktion in dieser Stelle
stetig fortgesetzt werden kann. Wir nennen eine solche Singularität eine Lücke. Andere
Arten von Singularitäten sind Sprünge und Unendlichkeitsstellen oder Pole, wie solche
bei gebrochenrationalen Funktionen genannt werden.
Beispiel 3.5.1. Die Funktion
f(x) = x2 −4
x+2
3 Die entsprechende Aufrundungsfunktion f(x) = ⌈x⌉, heisst ceil oder ceiling.